\(125>5^{n+1}>25\\ \Rightarrow5^3>5^{n+1}>5^2\\ \Rightarrow3>n+1>2\\ \Rightarrow3-1>n>2-1\\ \Rightarrow2>n>1\)

Mà giữa 2 và 3 không có số tự nhiên nào 

=> Không có n thỏa mãn 

\(x^3-5x^2+8x-4\\ =\left(x^3-x^2\right)+\left(-4x^2+4x\right)+\left(4x-4\right)\\ =x^2\left(x-1\right)-4x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)\\ =\left(x^2-4x+4\right)\left(x-1\right)\\ =\left[x^2-2\cdot x\cdot2+2^2\right]\left(x-1\right)\\ =\left(x-2\right)^2\left(x-1\right)\)

a: Ta có: BH\(\perp\)AC

CK\(\perp\)AC

Do đó: BH//CK

Ta có: CH\(\perp\)AB

BK\(\perp\)BA

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

b: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

c: Xét ΔHIK có

G,M lần lượt là trung điểm của HI,HK

=>GM là đường trung bình của ΔHIK

=>GM//IK

=>BC//IK

Xét ΔCHI có

CG là đường cao

CG là đường trung tuyến

Do đó: ΔCHI cân tại C

=>CH=CI

mà CH=BK

nên BK=CI

Xét tứ giác BCKI có BC//KI và BK=CI

nên BCKI là hình thang cân

\(x^3-x^2-14x+24\\ =\left(x^3-2x^2\right)+\left(x^2-2x\right)+\left(-12x+24\right)\\ =x^2\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)-12\left(x-2\right)\\ =\left(x-2\right)\left(x^2+x-12\right)\\ =\left(x-2\right)\left[\left(x^2-3x\right)+\left(4x-12\right)\right]\\ =\left(x-2\right)\left[x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)\right]\\ =\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+4\right)\)

\(a,M=\left(x+1\right)^3-x^3+1-3x\left(x+1\right)\\ =x^3+3x^2+3x+1-x^3+1-3x^2-3x\\ =\left(x^3-x^3\right)+\left(3x^2-3x^2\right)+\left(3x-3x\right)+\left(1+1\right)\\ =2\)

Vậy giá trị của bt không phụ thuộc vào biến 

\(b,\left(2x-1\right)^3-6x\left(2x-1\right)^2+12x^2\left(2x-1\right)-8x^3\\ =\left(2x-1\right)^3-3\cdot\left(2x-1\right)^2\cdot2x+3\cdot\left(2x-1\right)\cdot\left(2x\right)^2-\left(2x\right)^3\\ =\left(2x-1-2x\right)^3\\ =\left(-1\right)^3=-1\)

Vậy giá trị của bt không phụ thuộc vào biến 

\(c,P=\left(x+y+1\right)^3-\left(x+y-1\right)^3-6\left(x+y\right)^2\\ =\left(x+y+1-x-y+1\right)\left[\left(x+y+1\right)^2+\left(x+y+1\right)\left(x+y-1\right)+\left(x+y-1\right)^2\right]-6\left(x+y\right)^2\\ =2\left[\left(x+y\right)^2+2\left(x+1\right)+1+\left(x+y\right)^2-1+\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]-6\left(x+y\right)^2\\ =2\left[3\left(x+y\right)^2+1\right]-6\left(x+y\right)^2\\ =6\left(x+y\right)^2+2-6\left(x+y\right)^2\\ =2\)

Vậy giá trị của bt không phụ thuộc vào biến  

\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+3ab\\ =ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2+3abc\\ =\left(a^2b+ab^2+abc\right)+\left(bc^2+b^2c+abc\right)+\left(ca^2+ac^2+abc\right)\\ =ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)\\ =\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Ta có:

A = 2004 x 2006

= (2005 - 1) x (2005 + 1) 

= 2005 x 2005 - 2005 + 2005 - 1 

= 2005 x 2005 + 0 - 1

= 2005 x 2005 - 1 

=> A < 2005 x 2005 

=> A < B 

Bài 3:

\(a,\left(x-3\right)^3-x^2\left(x+2\right)+11x=-108\\ \Leftrightarrow x^3-9x^2+27x-27-x^3-2x^2+11x^2=-108\\ \Leftrightarrow-11x^2+27x-27+11x^2=-108\\ \Leftrightarrow27x-27=-108\\ \Leftrightarrow27x=-108+27\\ \Leftrightarrow27x=-81\\ \Leftrightarrow x=-\dfrac{81}{27}\\ \Leftrightarrow x=-3\\ b,\left(2x+3\right)^3-8x\left(x+1\right)\left(x-1\right)=9x\left(4x-3\right)\\ \Leftrightarrow\left(8x^3+36x^2+54x+27\right)-8x\left(x^2-1\right)=36x^2-27x\\ \Leftrightarrow8x^3+36x^2+54x+27-8x^3+8x=36x^2-27x\\ \Leftrightarrow36x^2+62x+27=36x^2-27x\\ \Leftrightarrow62x+27=-27x\\ \Leftrightarrow62x+27x=-27\\ \Leftrightarrow89x=-27\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{-27}{89}\)

Bài 4:

a: \(18^3-3\cdot18^2\cdot8+3\cdot18\cdot8^2-2^9\)

\(=18^3-3\cdot18^2\cdot8+3\cdot18\cdot8^2-8^3\)

\(=\left(18-8\right)^3=10^3=1000\)

b: \(997^3+9\cdot997^2+997\cdot27+27\)

\(=997^3+3\cdot997^2\cdot3+3\cdot997\cdot3^2+3^3\)

\(=\left(997+3\right)^3=1000^3=10^9\)

Đổi: \(10\dfrac{1}{5}m=\dfrac{51}{5}m=102dm\)

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 - 2 = 3 (phần)

Độ dài đường chéo bé là:

102 : 3 x 2 = 68 (dm)

Độ dài đường chéo lớn là:

102 + 68 = 170 (dm)

Diện tích của hình thoi là:

\(\dfrac{1}{2}\times68\times170=5780\left(dm^2\right)\)

ĐS: ...

            Giải:

      10\(\dfrac{1}{5}\)m = \(\dfrac{51}{5}\)m

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có:

Đường chéo bé là: 

     \(\dfrac{51}{5}\) : (5 - 2) x 2 = \(\dfrac{34}{5}\) (m)

Độ dài đường chéo lớn là:

     \(\dfrac{34}{5}\) + \(\dfrac{51}{5}\)  = 17  (m)

Diện tích của hình thoi là:

    17 x \(\dfrac{34}{5}\) : 2 = 57,8 (m²)

Đổi 57,8 m² =  5780 dm²

Đáp số:.... 

\(x^4-10x^2-11x-10\\ =\left(x^4-x\right)+\left(-10x^2-10x-10\right)\\ =x\left(x^3-1\right)-10\left(x^2+x+1\right)\\ =x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-10\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left[x\left(x-1\right)-10\right]\\ =\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x-10\right)\)