Câu 1: Vì p và 10p + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ≠ 2 vậy p là các số lẻ.

Ta có: 10p + 1 - p  = 9p + 1 

      Vì p là số lẻ nên 9p + 1 là số chẵn ⇒ 9p + 1 = 2k

          17p + 1 = 8p + 9p + 1   = 8p + 2k = 2.(4p + k) ⋮ 2

        ⇒ 17p + 1 là hợp số (đpcm)

Câu 1: 

Vì $p$ là stn lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$.

Nếu $p=3k+2$ thì:

$10p+1=10(3k+2)+1=30k+21\vdots 3$

Mà $10p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết)

$\Rightarrow p$ có dạng $3k+1$.

Khi đó:
$17p+1=17(3k+1)+1=51k+18=3(17k+6)\vdots 3$. Mà $17p+1>3$ nên $17p+1$ là hợp số
 (đpcm)

Do ƯCLN(a; b) = 5 nên đặt a = 5x; b = 5y (x và y nguyên tố cùng nhau)

Do a + b = 300

⇒ 5x + 5y = 300

⇒ 5(x + y) = 300

⇒ x + y = 60

⇒ (x; y) ∈ {(1; 59); (7; 53); (11;49); (13; 47); (17; 43); (19; 41); (23; 37); (29; 31); (31; 29); (37; 23); (41; 19); (43; 17); (47; 13); (49; 11); (53; 7); (59; 1)}

⇒ (a; b) ∈ {(5; 295); (35; 265); (55; 245); (65; 235); (85; 215); (95; 205); (115; 185); (145; 155); (155; 145); (185; 115); (205; 95); (215; 85); (235; 65); (245; 55); (265; 35); (295; 5)}

Do ƯCLN(a; b) = 5 nên đặt a = 5x; b = 5y (x và y nguyên tố cùng nhau)

Do a + b = 300

⇒ 5x + 5y = 300

⇒ 5(x + y) = 300

⇒ x + y = 60

⇒ (x; y) ∈ {(1; 59); (7; 53); (11;49); (13; 47); (17; 43); (19; 41); (23; 37); (29; 31); (31; 29); (37; 23); (41; 19); (43; 17); (47; 13); (49; 11); (53; 7); (59; 1)}

⇒ (a; b) ∈ {(5; 295); (35; 265); (55; 245); (65; 235); (85; 215); (95; 205); (115; 185); (145; 155); (155; 145); (185; 115); (205; 95); (215; 85); (235; 65); (245; 55); (265; 35); (295; 5)}

A=25

B=275

Lời giải:
$P=1-3^2+3^4-3^6+...+3^{96}-3^{98}$

$3^2P=3^2-3^4+3^6-3^8+...+3^{98}-3^{100}$

$\Rightarrow P+3^2P=1-3^{100}$

$\Rightarrow 10P=1-3^{100}$

$\Rightarrow 1-10P=3^{100}=(3^{50})^2$ là số chính phương.

Ta có đpcm.

Bạn cần giúp đỡ bài nào thì nên ghi chú rõ ra nhé.

1 - 3  + 3² - 3³ + ... + (-3)^\(x\) = \(\dfrac{9^{1013}+1}{4}\)

Đặt vế trái bằng A ta có:

        A = 1 - 3   + 3² - 3³ + ... + (-3)^\(x\)

     3A =  3 - 3² + 3³ - 3⁴ + ... + (-3)^{\(^{x+1}\)}

3A + A =(3-3²+3³-3⁴+...+(-3)^{\(^{x+1}\)}+(1 - 3+...+(-3)^{\(^{x+1}\)}

4A      = 3 -3² + 3³-3⁴+...+(-3)^{\(^{x+1}\)}+ 1 - 3 + ... + (-3)^{\(^x\)}

4A = (3 -3) + (-3²+ 3²) +....+(3^{\(^x\)} + (-3)^{\(^x\)}) + (1 +  (-3)\(^{x+1}\))

4A =  0 + 0 +...+ 0 +0 + 1 + (-3)\(^{x+1}\)

A = \(\dfrac{1+\left(-3\right)^{x+1}}{4}\)

⇒ \(\dfrac{1+\left(-3\right)^{x+1}}{4}\) = \(\dfrac{9^{1013}+1}{4}\)

1 + (-3)\(^{x+1}\) = 9¹⁰¹³ + 1

     (-3)^{\(^{x+1}\)}  = 9¹⁰¹³

    (-3)^{\(^{x+1}\)} = (-3)^2.1013

       \(x\) + 1  = 2026

        \(x\)       = 2025 

Bài toán: Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn $15\vdots 2x+1$

-----------------

Lời giải:
$15\vdots 2x+1$

$\Rightarrow 2x+1\in Ư(15)$

$\Rightarrow 2x+1\in \left\{1; -1; 3; -3; 5; -5; 15; -15\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{0; -1; 1; -2; 2; -3; 7; -8\right\}$

Số tiền lỗ của 2 năm đầu là :

     150 x 2 = 300 (triệu đồng)

Số tiền lãi của 3 năm sau là :

     450 x 3 = 1350 (triệu đồng)

Vì : 300 triệu đồng < 1350 triệu đồng, nên:

Trong 5 năm công ty lãi số tiền là : 

     1350 - 300 = 1050 (triệu đồng)

Vậy trung bình mỗi năm công ty lãi số tiền là :

    1050 : 5 = 210 (triệu đồng)

Số tiền lỗ của 2 năm đầu là :

     150 x 2 = 300 (triệu đồng)

Số tiền lãi của 3 năm sau là :

     450 x 3 = 1350 (triệu đồng)

Trong 5 năm công ty lãi số tiền là : 

     1350 - 300 = 1050 (triệu đồng)

Vậy trung bình mỗi năm công ty lãi số tiền là :

    1050 : 5 = 210 (triệu đồng)

Đ/S:

c)(x-4).(2x+6)=0

=>(x-4)=0 hoặc (2x+6)=0

với x-4 = 0

      x    =0+4

      x    =4

với 2x+6=0

      2x    =0-6

      2x    =-6

      x      =-6:2

      x      =-3

3x=(-7)+1

3x=(-6)

x=(-6):3

x=(-2)

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{100}+2^{101}\)

\(2A-A=\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{100}+2^{101}\right)-\left(2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(A=2^{101}-2\)

Vậy...