Từ điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $A B, A C$ lần lượt tại $B, C$ của $(O)$.

1) Chứng minh tứ giác $A B O C$ nội tiếp đường tròn.

2) Vẽ hai đường kính $B D, C E$ của $(0)$, gọi $I$ là giao điểm của $A O$ và $B C$, gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $D I$ và $(O)$, với $F$ khác $D$. Chứng minh ba điểm $A, E, F$ thẳng hàng.

3) Chứng minh $O F$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A I F$.

1) Hội trường của nhà trường có $350$ ghế ngồi được sắp xếp thành một số dãy ghế mà số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau, mỗi ghế chỉ một người ngồi; trong lễ khen thưởng học sinh giỏi có $300$ học sinh và đại biểu tham dự nên hội trường sắp xếp giảm $5$ dãy ghế và mỗi dãy ghế còn lại đều sắp xếp tăng thêm $1$ ghế. Hỏi ban đầu hội trường có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy ghế có bao nhiêu ghế?

2) Cho hình vuông $A B C D$ có cạnh bằng $a$, với $0<a \in \mathbb{R}$. Tính theo $a$ diện tích toàn phần của hình trụ tạo thành khi quay hình vuông $A B C D$ quanh đường thẳng $A B$.

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB$ bằng $2 R$ ($R>0$). Gọi $C$ là điểm chính giữa của cung $AB$ và $M$ là điểm thuộc cung $BC$ (M khác $B$ và $C$). Tiếp tuyến tại $M$ của nửa đường tròn tâm $O$ cắt các đường thằng $OC$ và $AB$ theo thứ tự tại $S$ và $K$. $AM$ cắt $OC$ tại $I$.

1. Tính diện tích hình viên phân được giới hạn bời $AC$ và cung $AC$ (Tính theo $R$ ).

2. Chứng minh tứ giác $OlMB$ là tứ giác nội tiếp và $SI=SM$.

3. Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ICM$.

4. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$. Chứng minh $BH . AK=BK.AH$.

1. Cho phương trình: $x^{2}+m x-m-1=0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn: $\left|x_{1}-x_{2}\right|=2$.

2.Một nhóm học sinh dự định đóng góp $300$ cuốn vở để làm quà tặng cho các em nhỏ có hoàn cảnh khó khăn ờ một mái ấm tình thương. Thực tế ngày đi trao quà có thêm $2$ bạn tham gia đi cùng với nhóm và mỗi bạn trong nhóm góp nhiều hơn dự định $1$ cuốn vở, nên tổng số vở góp được là $351$ cuốn. Hỏi ban đầu nhóm đó có bao nhiêu học sinh và mỗi học sinh dự định góp bao nhiêu cuốn vở. (Biết rằng số vờ mỗi học sinh đóng góp là như nhau).

3. Giải phương trình: $ 2 x^{2}-3 x-2=(x-2) \sqrt{3 x^{2}+x+5}$.