\(E=1^2+2^2+3^2+....+59^2\)

\(E=1+2\left(1+1\right)+3\left(2+1\right)+...+59\left(58+1\right)\)

\(E=1+1\times2+2+2\times3+3+....+58\times59+59\)

\(E=\left(1+2+3+...+59\right)+\left(1\times2+2\times3+....+58\times59\right)\)

Ta đặt :

\(A=1+2+3+...+59\)

Số số hạng là \(\left(59-1\right)\div1+1=59\) số hạng

Tổng là \(\left(59+1\right)\times59\div2=1770\) 

=> \(A=1770\) 

Ta đặt

   \(B=1\times2+2\times3+...+58\times59\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times3+....+58\times59\times3\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times\left(4-1\right)+...+58\times59\times\left(57-54\right)\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times4-2\times3\times1+...+58\times59\times57-58\times59\times54\)

\(3B=58\times59\times57\)

\(B=58\times59\times19\)

\(B=65018\)

=> \(E=A+B\) 

=> \(E=1770+65018\) 

=> \(E=66788\)

Trước hết ta sẽ chứng minh \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*). Thật vậy, với \(n=1\) thì hiển nhiên \(1^2=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{6}\). Giả sử (*) đúng đến \(n=k\), khi đó \(1^2+2^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\). Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có:

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2\)

\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\) 

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6\left(k+1\right)\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\).

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có đpcm. Thay \(n=59\) thì ta có:

\(E=1^2+2^2+...+59^2=\dfrac{59\left(59+1\right)\left(2.59+1\right)}{6}=70210\)

a/

\(a\left(b-c\right)-b\left(a+c\right)+c\left(a-b\right)=\)

\(=ab-ac-ab-bc+ac-bc=-2bc\)

b/

\(a\left(1-b\right)+a\left(a^2-1\right)=\)

\(=a-ab+a^3-a=a^3-ab=a\left(a^2-b\right)\)

c/

\(a\left(b-x\right)+x\left(a+b\right)=ab-ax+ax+bx=\)

\(=ab+bx=b\left(a+x\right)\)

\(A=2345+5342+23546+655+4658-3546\)

\(A=\left(2345+655\right)+\left(5342+4658\right)+\left(23546-3546\right)\)

\(A=3000+10000+20000=33000\)

\(A=2345+23546+655+4658-3546\)

\(A=\left(2345+655\right)+\left(23546-3546\right)+4658\)

\(A=3000+20000+4658\)

\(A=23000+4658\)

\(A=27658\)

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 1 = 4 (phần)

Chữ số hàng chục là: 8 : 4 x 1 = 2

Chữ số hàng đơn vị là: 2 x 3 = 6

Vậy số cần tìm là: 26

Ta đặt

  \(A=1\times3+3\times5+...+61\times63\)

\(6A=1\times3\times6+3\times5\times6+....+61\times63\times6\)

\(6A=1\times3\times6+3\times5\times\left(7-1\right)+...+61\times63\times\left(65-59\right)\)

\(6A=1\times3\times6+3\times5\times7-1\times3\times5+...+61\times63\times65-59\times61\times63\)

\(6A=1\times3\times6-1\times3\times5+61\times63\times65\)

\(6A=3+61\times63\times65\)

\(6A=3\times\left(1+61\times21\times65\right)\)

\(2A=83266\)

\(A=83266\div2=41633\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{\left(AB+CD\right).AK}{2}=\dfrac{\left(20+20\right).8}{2}=160cm^2\)

Mặt khác

\(S_{ABCD}=\dfrac{\left(AD+BC\right).AH}{2}=\dfrac{\left(10+10\right).AH}{2}=160cm^2\)

\(\Rightarrow AH=16cm\)

4 cạnh hình thoi bằng nhau nên;

Cạnh khung giá sách là:

\(292:4=73\left(cm\right)\)

Vậy chọn đáp án số 3

Tổng số phần bằng nhau:

1 + 3 = 4 (phần)

Số trứng gà:

116 : 4 = 29 (quả)

Số trứng vịt:

116 - 29 = 87 (quả)

Tổng số phần bằng nhau là:

1 + 3 = 4 ( phần )

Số trứng gà là:

116 : 4 x 1 = 29 ( quả )

Số trứng vịt là:

116 - 29 = 87 ( quả ) 

\(a,x\left(y-z\right)+y\left(z-x\right)+z\left(x-y\right)\\ =xy-xz+yz-xy+xz-yz\\ =\left(xy-xy\right)+\left(xz-xz\right)+\left(yz-yz\right)\\ =0+0+0\\ =0\left(dpcm\right)\)

\(b,x\left(y+z-yz\right)-y\left(z+x-zx\right)+z\left(y-x\right)\\ =xy+xz-xyz-yz-xy+xyz+yz-xz\\ =\left(xy-xy\right)+\left(xz-xz\right)+\left(xyz-xyz\right)+\left(yz-yz\right)\\ =0+0+0+0\\ =0\left(dpcm\right)\)