Áp dụng cách đánh giá quen thuộc 

\(3\left(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\right)^2\)

Hay \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

Ta cần chỉ ra được \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Ta đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Cần chú ý đến \(a^2+b^2+c^2\). Ta được

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta cần chứng minh được

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Dễ thấy \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Do đó \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 

\(\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Do đó ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Bài toán được chứng minh :3

P/S : Câu 2,3 kết quả bằng bao nhiêu mới tìm được x ?

1.\(\left(2x-7\right)^2-4\left(x-3\right)=5\)

=> \(\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot7+7^2-4x+12=5\)

=> \(4x^2-28x+49-4x+12=5\)

=> \(4x^2-32x+61=5\)

=> \(4x^2-32x+61-5=0\)

=> \(4x^2-32x+56=0\)

=> \(4\left(x^2-8x+14\right)=0\)

=> \(x^2-8x+14=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=4-\sqrt{2}\\x=\sqrt{2}+4\end{cases}}\)

4.\(\left(3x-1\right)^2-6\left(x-1\right)\left(x+1\right)-3x\left(x-2\right)=7\)

=> \(\left(3x\right)^2-2\cdot3x\cdot1+1^2-6\left(x^2-1\right)-3x^2+6x=7\)

=> \(9x^2-6x+1-6x^2+6-3x^2+6x=7\)

=> \(\left(9x^2-6x^2-3x^2\right)+\left(-6x+6x\right)+\left(1+6\right)=7\)

=> 7 = 7(đúng)

5. \(\left(x+3\right)^2-\left(x-4\right)\left(x+8\right)=1\)

=> \(x^2+2\cdot x\cdot3+3^2-x\left(x+8\right)+4\left(x+8\right)=1\)

=> x² + 6x + 9 - x² - 8x + 4x + 32 = 1

=> (x² - x²) + (6x - 8x + 4x) + (9 + 32) = 1

=> 2x + 41 = 1

=> 2x = -40

=> x = -20

a)Xét tam giác AKC và tam giác AHB có

Góc A chung

AB=AC(ABC cân)

góc AKC=góc AHB(=90 độ)

Suy ra tam giác AKC=tam giác AHB(g.c.g)

Suy ra AK=AH(hai góc tương ứng)

Vậy AKH là tam giác cân

Ta có góc AKH=(180 độ -góc A)/2

lại có góc ABC=(180 độ -góc A)/2

vậy góc AKH=góc ABC

MÀ hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên KH//BC

Vậy tứ giácBCHK là hình thang

Ta lại có góc B = góc C(ABC cân)

Suy ra tứ giác BCHK là hình thang cân

                                                    Bài giải

a, Xét \(\Delta KBC\) và \(\Delta HCB\)có :

\(\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^o\text{ }\left(gt\right)\)

BC : cạnh chung

\(\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\text{ }\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\Delta KBC=\Delta HCB\text{ }\left(ch\text{ - }gn\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }BK=HC\)

Ta có :

\(AB=AK+BK\)

\(AC=AH+HC\)

Mà : \(AB=BC\text{ }\left(gt\right)\text{ ; }BK=HC\text{ }\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }AK=AH\)

\(\Rightarrow\text{ }\Delta AKH\) cân tại A \(\Rightarrow\text{ }\widehat{AKH}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\text{ }\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow\text{ }\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\text{ }\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ( 2 ) \(\Rightarrow\text{ }\widehat{AKB}=\widehat{ABC}\) Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \(\Rightarrow\text{ }KH\text{ }//\text{ }BC\)

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\text{ }\left(gt\right)\) \(\Rightarrow\text{ }BCHK\)là hình thang cân

b, Dễ mà !

a) (ax - 3)(x² + bx + 9) = x³ - 27

=> ax³ + abx² + 9ax - 3x² - 3bx - 27 = x³ - 27

=> ax³ + x²(ab - 3) - 3x(3a - b) = x³

=> \(\hept{\begin{cases}a=1\\ab-3=0\\3a-b=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=3\end{cases}}\)

b) (ax + b)(x² - x + 1) - c(2x - 1) = x³ - 3x² + x - 1

=> ax³ - ax² + ax + bx² - bx + b - 2cx +  c = x³ - 3x² + x - 1

=> ax³ - x²(a - b) + x(a - b + 2c) + (b - c) = x³ - 3x² + x - 1

=> a = 3 ; \(\hept{\begin{cases}a-b=3\\a-b+2c=1\\b-c=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=0\\c=-1\end{cases}}\)

a) ( ax - 3 )( x² + bx + 9 ) = x³ - 27

<=> ( ax - 3 )( x² + bx + 9 ) = ( x - 3 )( x² + 3x + 9 )

Đồng nhất hệ số ta được a = 1 ; b = 3

b) ( ax + b )( x² - x + 1 ) - c( 2x - 1 ) = x³ - 3x² + x - 1

<=> ax( x² - x + 1 ) + b( x² - x + 1 ) - 2cx + c = x³ - 3x² + x - 1

<=> ax³ - ax² + ax + bx² - bx + b - 2cx + c = x³ - 3x² + x - 1 

<=> ax³ - ( a - b )x² + ( a - b - 2c )x + ( b + c ) = x³ - 3x² + x - 1

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}a=1\\a-b=3\\a-b-2c=1\end{cases}};b+c=-1\)

=> a = 1 ; b = -2 ; c = 1

Gọi giao điểm của FI với BC là M . Góc EMF là góc ngoài đỉnh F của hai tam giác MBF và MIE , ta có :

\(\widehat{EMF}\)\(=\widehat{F_1}\)\(+\widehat{MBF}\)

\(\widehat{EMF}\)\(=\widehat{F_2}\)\(+\widehat{EIF}\)

Suy ra : \(\widehat{EIF}\)\(+\widehat{F_2}\)\(=\widehat{F_1}\)\(+\widehat{MBF}\)\(\left(1\right)\)

Gọi giao điểm của EI với CD là N

Chứng minh tương tự , ta có :

\(\widehat{EIF}\)\(+\widehat{F_2}\)\(=\widehat{NDF}\)\(+\widehat{E_1}\)\(\left(2\right)\)\(...\)

Xin lỗi , mình chỉ biết giải đến đấy

Bài làm ;

\(\left(x+3\right)^3-\left(x+9\right)\left(x^2+27\right)\)

\(=x^3+9x^2+27x+3^3-\left(x^3+27x+9x^2+243\right)\)

\(=x^3+9x^2+27x+27-x^3-27x-9x^2-243\)

\(=\left(x^3-x^3\right)+\left(9x^2-9x^2\right)+\left(27x-27x\right)+\left(27-243\right)\)

\(=-216\)

=> Giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x .

( 2x + 3 )( 4x² - 6x - 9 ) - 2( 4x² - 1 )

= 2x( 4x² - 6x - 9 ) + 3( 4x² - 6x - 9 ) - 8x² + 2

= 8x³ - 12x² - 18x + 12x² - 18x - 27 - 8x² + 2

= 8x³ - 8x² - 36x - 25 ( có phụ thuộc vào biến )

( x + 3 )³ - ( x + 9 )( x² + 27 )

= x³ + 9x² + 27x + 27 - [ x( x² + 27 ) + 9( x² + 27 ) ]

= x³ + 9x² + 27x + 27 - ( x³ + 27x + 9x² + 243 )

= x³ + 9x² + 27x + 27 - x³ - 27x - 9x² - 243

= -216 ( đpcm )

Do \(1\le x< y\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le x< 2\\\frac{1}{2}\le\frac{1}{y}< 1\end{cases}}\)

=> \(\frac{1}{2}\le\frac{x}{y}< 2\)

\(A=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(\frac{1}{2}\le t< 2\right)\)

Ta có: \(A=t+\frac{1}{t}+2=\left(t-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{t}-2\right)+\frac{9}{2}=\frac{2t-1}{2}+\frac{1-2t}{t}+\frac{9}{2}\)

\(=\frac{\left(2t-1\right)\left(t-2\right)}{2t}+\frac{9}{2}\)

Vì \(\frac{1}{2}\le t< 2\Rightarrow\hept{\begin{cases}2t-1\ge0\\t-2< 0\end{cases}\Rightarrow\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\le0}\)và \(2t\ge2.\frac{1}{2}=1\Rightarrow\frac{1}{2t}\le1\)

=> \(A\le\frac{9}{2}\)

"=" Xảy ra <=> \(t=\frac{1}{2}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\\x=1;\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)

a. 4x² - x + 10

= 4x² - x + 1/16 + 159/16

= 4 ( x - 1/8 )² + 159/16

Vì \(\left(x-\frac{1}{8}\right)^2\ge0\forall x\)=> \(4\left(x-\frac{1}{8}\right)^2+\frac{159}{16}\ge\frac{159}{16}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(4\left(x-\frac{1}{8}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{8}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\)

Vậy GTNN của bt trên = 159/16 <=> x = 1/8

b. 2x² - 5x - 1

= 2x² - 5x + 25/8 - 33/8

= 2 ( x - 5/4 )² - 33/8

Vì \(\left(x-\frac{5}{4}\right)^2\ge0\forall x\)=> \(2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{33}{8}\ge-\frac{33}{8}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{5}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

Vậy GTNN của bt trên = - 33/8 <=> x = 5/4

4x² - x + 10

= 4( x² - 1/4x + 1/64 ) + 159/16

= 4( x - 1/8 )² + 159/16 ≥ 159/16 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/8 = 0 => x = 1/8

Vậy GTNN của biểu thức = 159/16 <=> x = 1/8

2x² - 5x - 1

= 2( x² - 5/2x + 25/16 ) - 33/8

= 2( x - 5/4 )² - 33/8 ≥ -33/8 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 5/4 = 0 => x = 5/4

Vậy GTNN của biểu thức = -33/8 <=> x = 5/4

1) (x² - 2x - 1)(x - 3)

= x²(x - 3) - 2x(x - 3)  - 1(x - 3)

= x³ - 3x² - 2x² + 6x - x + 3

= x³ - 5x² + 5x + 3

2. (-x + 4)(-x² + 4x - 1)

= -x(-x² + 4x - 1) + 4(-x² + 4x - 1)

= x³ - 4x² + x - 4x² + 16x - 4

= x³ - 8x² + 17x - 4

3 ) (2x - 1)(x² - 5x + 3)

= 2x(x² - 5x + 3) - 1(x² - 5x + 3)

= 2x³ - 10x²  + 6x - x² + 5x - 3

= 2x³ - 11x² + 11x - 3

            Bài làm :

1) (x² - 2x - 1)(x - 3)

= x²(x - 3) - 2x(x - 3)  - 1(x - 3)

= x³ - 3x² - 2x² + 6x - x + 3

= x³ - 5x² + 5x + 3

2) (-x + 4)(-x² + 4x - 1)

= -x(-x² + 4x - 1) + 4(-x² + 4x - 1)

= x³ - 4x² + x - 4x² + 16x - 4

= x³ - 8x² + 17x - 4

3 ) (2x - 1)(x² - 5x + 3)

= 2x(x² - 5x + 3) - 1(x² - 5x + 3)

= 2x³ - 10x²  + 6x - x² + 5x - 3

= 2x³ - 11x² + 11x - 3