Vậy là ở Thái Bình thì được đến trường rồi

Vui quá 

Em ở Bình Dương giờ học trực tuyến online thêm 1 tuần nữa huhu

ta có:\(P=\sum\dfrac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}=\sum\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)

đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)thì giả thiết trở thành : \(a^2+b^2+c^2=1\).tìm Min \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{a^2+c^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)

ta có:\(\dfrac{a}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{1-a^2}=\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

\(\left[a\left(1-a^2\right)\right]^2=\dfrac{1}{2}.2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a^2+1-a^2+1-a^2\right)^3=\dfrac{4}{27}\)

\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

tương tự với các phân thức còn lại ta có:

\(P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\\\dfrac{1}{z}=c\end{matrix}\right.\) Thì bài toán trở thành

Cho \(a^2+b^2+c^2=1\) tính GTNN của \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=1-c^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}=\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)

Mà ta có: \(2c^2\left(1-c^2\right)\left(1-c^2\right)\le\dfrac{\left(2c^2+1-c^2+1-c^2\right)^3}{27}=\dfrac{8}{27}\)

\(\Rightarrow c\left(1-c^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{c^2+a^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}b^2}{2}\left(2\right)\\\dfrac{a}{b^2+c^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)

thanks nha!! sang năm có đề cươn on tập vào 10 rùi!!!

Đó là món quà tuyệt vời cho những bạn đang muốn thi vào 10

ta có

\(\hept{\begin{cases}xy\left(x-y\right)^2=25\\\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

từ \(\left(\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}\right)^2=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x^2-y^2+2\sqrt{xy.\left(x-y\right)^2}=\frac{81}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2+2\sqrt{25}=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x^2-y^2=\frac{41}{4}\Rightarrow x^2=y^2+\frac{41}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}\right)=\frac{9}{2}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{41}{4}-\left(xy-y^2\right)}+\sqrt{xy-y^2}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow xy-y^2=4\)vậy ta có \(\hept{\begin{cases}xy-y^2=4\\x^2-y^2=\frac{41}{4}\end{cases}}\Rightarrow16\left(x^2-y^2\right)=41\left(xy-y^2\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=\frac{25}{16}y\end{cases}}\)mà \(x^2=y^2+\frac{41}{4}\Rightarrow\left(\frac{25}{16}y\right)^2=y^2+\frac{41}{4}\Rightarrow y=\pm\frac{8}{3}\Rightarrow x=\pm\frac{25}{6}\)

thay lại hệ để tìm nghiệm thỏa mãn đk căn thức là xong nhé

\(ĐK:x^2-xy\ge0;xy-y^2\ge0\)

Ta viết hệ phương trình về dạng: \(\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right).y\left(x-y\right)=25\\\sqrt{x\left(x-y\right)}+\sqrt{y\left(x-y\right)}=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

Đặt \(\sqrt{x\left(x-y\right)}=u,\sqrt{y\left(x-y\right)}=v\left(u,v>0\right)\)thì hệ trở thành: \(\hept{\begin{cases}u^2v^2=25\\u+v=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

* Xét uv = 5 thì u, v là nghiệm của phương trình \(s^2-\frac{9}{2}s+5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}s=\frac{5}{2}\\s=2\end{cases}}\)

     +) \(u=\frac{5}{2},v=2\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right)=\frac{25}{4}\\y\left(x-y\right)=4\end{cases}}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=\frac{9}{4}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=\frac{3}{2}\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(\frac{25}{6},\frac{8}{3}\right)\\x-y=-\frac{3}{2}\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(-\frac{25}{6},-\frac{8}{3}\right)\end{cases}}\)

     +) \(u=2,v=\frac{5}{2}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right)=4\\y\left(x-y\right)=\frac{25}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=\frac{-9}{4}\left(L\right)\)

* Xét uv = -5 thì u, v là nghiệm của phương trình \(r^2-\frac{9}{2}r-5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}r=\frac{9+\sqrt{161}}{4}\\r=\frac{9-\sqrt{161}}{4}\end{cases}}\)(loại vì có 1 nghiệm là số âm)

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$

$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$

$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$

$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$

$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$

Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.

Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp

Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$

$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$

$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.

Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$

Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.

Câu III ý 2)

Ta có:

\(P^2\le\left(a^2+b^2\right)\left[3b\left(a+2b\right)+3a\left(b+2a\right)\right]=2\left[6\left(a^2+b^2\right)+3\cdot2ab\right]\)

\(\le2\left[6\cdot2+3\left(a^2+b^2\right)\right]\le36\Rightarrow P\le6.\)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1.$

Vậy...

Bài V có phải là 3; 3; 4 không anh Quoc Tran Anh Le CTV?

Bài 2.

Tìm Min.

\(M=\sum\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z-9\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$

Tìm Max.

Ta đi chứng minh \(5-\dfrac{1}{3}x\ge\sqrt{x^2-16x+25}\)

Do $x+y+z=3;x,y,z\ge 0$ nên $x\le 3.$ Do đó \(VT\ge5-1=4>0.\) (1)

Bình phương hai vế, rút gọn, bất đẳng thức tương đương với \(\dfrac{8}{9}x\left(3-x\right)\ge0\) (hiển nhiên)

Thiết lập hai bất đẳng thức còn lại tương tự và cộng theo vế thu được Max = 14 kết hợp với số 4 ở (1) là được ngày sinh của em=))

Đề bất đẳng thức đơn giản v:vv

3c) Ta sẽ chứng minh 

\(\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{a^3\left[2\left(b^2+c^2\right)a^2-\left(b+c\right)^3a+\left(b^2+c^2\right)^2\right]}{\left[a^3+\left(b+c\right)^3\right]\left(b^2+c^2\right)}\ge0\)

Hay là \(2\left[2\left(b^2+c^2\right)a^2+\left(b^2+c^2\right)^2\right]\ge (b+c)^3 a\)

Đúng vì theo AM-GM ta có:

\(VT\ge2\sqrt{2a^2\left(b^2+c^2\right)^3}\ge2\sqrt{2\left[\dfrac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]^3}a=\left(b+c\right)^3a=VP.\)

Xong.

Bài I

a ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}2-x\ge0\\2-x^2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2\\-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\) 

\(\Rightarrow\left(2-x^2\right)=\left(\sqrt{2-x}\right)^2\Leftrightarrow x^4-4x^2+4=2-x\Leftrightarrow x^4-4x^2+x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3+x^3-x^2-3x^2+3x-2x+2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2-3x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\left(1\right)\\x^3+x^2-3x-2=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

Từ (1) \(\Rightarrow x=1\left(TM\right)\) 

Từ (2) \(\Rightarrow x^3+2x^2-x^2-2x-x-2=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x^2-x-1=0\end{matrix}\right.\) 

*Nếu x+2=0 \(\Leftrightarrow x=-2\left(L\right)\)

*Nếu \(x^2-x-1=0\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\left(L\right)\\x=\dfrac{-\sqrt{5}+1}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\) 

Vậy...

Ảnh bị up thiếu, đề còn thiếu đây nhé 

Qua 2 điểm B và C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt tia AG lần lượt tại E và F

Gọi AI là trung tuyến của \(\Delta\)ABC

Theo ĐL Thales ta có các tỉ số: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG};\frac{AC}{AN}=\frac{AF}{AG}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AF}{AG}=\frac{2AE+IE+IF}{AG}\)

Dễ thấy \(\Delta\)BEI=\(\Delta\)CFI (g.c.g) => IE = IF (2 cạnh tương ứng) => IE + IF = 2.IE

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE+2IE}{AG}=\frac{2AI}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}\right)^2=9\ge4.\frac{AB.AC}{AM.AN}\)(BĐT Cauchy)

\(\Leftrightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}\le\frac{9}{4}\Leftrightarrow AM.AN\ge\frac{4.AB.AC}{9}\)

\(\Rightarrow S_{AMN}\ge\frac{4}{9}.S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}\)(đpcm).

Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)<=> MN // BC <=> d // BC.

1

em like rùi sj