a) Do M, N là trung điểm của AB và CD nên MB // DN và MB = CN. Ngoài ta \(MN\perp AB\)

Vậy thì \(\Delta MOB=\Delta NOD\left(g-c-g\right)\Rightarrow OM=ON\)

Lại có HO // AB; \(MN\perp AB\Rightarrow HO\perp MN\)

Xét tam giác HMN có HO là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân, hay HM = HN.

b) Xét tam giác QBP có ON//BP nên \(\frac{QO}{QB}=\frac{QN}{QP}\) (Định lý ta-let)

Xét tam giác MQB có OH//BM nên \(\frac{QO}{QB}=\frac{QH}{QM}\) (Định lý ta-let)

Tức là ta có \(\frac{QH}{QM}=\frac{QN}{QP}\)

Xét tam giác QMP có \(\frac{QH}{QM}=\frac{QN}{QP}\) nên theo định lý Ta let đảo HN // MP. 

Vậy thì \(\widehat{HNM}=\widehat{NMP}\) (so le trong)

Lại có do tam giác HMN cân tại H nên \(\widehat{HNM}=\widehat{HMN}\) . Từ đó ta có:  \(\widehat{HM}N=\widehat{NMP}\)

hay MN là tian phân giác của \(\widehat{QMP}.\)

hình ở đâu thế?

Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố

Xét n>1:\(A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)+n\left(\left(n^3\right)^{667}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Mà \(\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^3-1\)

\(\Rightarrow\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)

Tương tự \(\left(\left(n^3\right)^{667}\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)

Vậy A chia hết cho \(n^2+n+1>1\)nên A là hợp số.Vậy \(n=1\)

Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố

Xét n>1:A=n2012−n2+n2002−n+n2+n+1

=n2((n3)670−1)+n((n3)667−1)+(n2+n+1)

Mà ((n3)670−1)chia hết cho n3−1

⇒((n3)670−1)chia hết cho n2+n+1

Tương tự ((n3)667)chia hết cho n2+n+1

A chia hết cho n2+n+1>1nên A là hợp số.Vậy n=1
 

Ta có:

\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000.2002}}}}\)

\(=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999\sqrt{2001^2-1}}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999.2001}}}}\)

\(........................................\)

\(< \sqrt{2.4}=\sqrt{8}< 3\)

Ta có:

√2√3√4...√2000

<√2√3√4...√2000.2002

=√2√3√4...√1999√20012−1

<√2√3√4...√1999.2001

........................................

<√2.4=√8<3

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(x-3+5-x\right)=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\)

Lại có: \(VP=x^2-8x+18=x^2-8x+16+2\)

\(=\left(x-4\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow VT\le VP=2\)

Xảy ra khi \(VT=VP=2\Rightarrow x=4\)

Ta có: \(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=x^2-8x+18\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-8x+18\) (với điều kiện: \(x^2=\sqrt{x-3};y^2=\sqrt{5-x}\))

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-\left(80+x\right)+18\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-\left(80+18\right)+x\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-\left(98+x\right)\)

Giả sử \(98+x=100\Rightarrow\)khi đó \(x=100-98=2\)

Nhưng vì \(x^2\Rightarrow x=2^2=4\)

Ps: Mới học lớp 6 thôi!

Có hai trường hợp \(\widehat{IEC}=90^o\): hoặc \(\widehat{EIC}=90^o\) 

TH1: Tam giác IEC vuông tại E

Do I là tâm đường tròn nội tiếp nên BI, CI là các phân giác.

Xét tam giác IBC, có IE là đường cao đồng thời là trung tuyến nên nó là tam giác cân tại I. Vậy \(\widehat{IBE}=\widehat{ICE}\Rightarrow2.\widehat{IBE}=2.\widehat{ICE}\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Vậy ABC là tam giác vuông cân hay \(\frac{AB}{AC}=1;\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

TH2: Tam giác IEC vuông tại I.

Ta thấy \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Xét tam giác IBC , ta có \(\widehat{BIE}=180^o-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)-\widehat{CIE}=180^o-45^o-90^o=45^o\)

Trên AB lấy điểm E' sao cho BE' = BE. Ta thấy ngay \(\Delta BEI=\Delta BE'I\left(c-g-c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{BIE'}=\widehat{BIE}=45^o\\IE=IE'\end{cases}}\)

Vậy thì \(\widehat{E'IC}=180^o\Rightarrow\) E', I, C thẳng hàng.

Xét tam giác BE'C, theo tính chất đường phân giác trong tam giác thì 

\(\frac{E'I}{IC}=\frac{BE'}{BC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}\)

Vậy thì \(\frac{IE}{IC}=\frac{1}{2}\Rightarrow tan\widehat{BCE'}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{BCE}\approx26^o34'\)

\(\frac{AB}{AC}=tan\widehat{BCA}=\frac{4}{3}\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5};\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}.\)

 a) có nhiều cách chứng minh 
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b) 
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) 
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*) 

ad bđt cô si cho 3 số: 
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a) 
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a) 

nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9 
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c 
- - - 
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b) 
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b) 

Thấy: M + N = 3 
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số) 
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si) 

=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c 
-------------- 
b) ad bđt Bunhia: 1² = [2.(2x) + 1.y]² ≤ (2²+1²)(4x²+y²) => 4x² + y² ≥ 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi 2x/2 = y/1 và 4x+y = 1 <=> x = y = 1/5 
- - - 
Có thể không cần Bunhia, ad bđt a² + b² ≥ 2ab (*) 
(*) quá hiển nhiên từ (a-b)² ≥ 0 
x² + 1/25 ≥ 2x/5 <=> 4x² ≥ 8x/5 - 4/25 (1*) 
y² + 1/25 ≥ 2y/5 <=> y² ≥ 2y/5 - 1/25 (2*) 

lấy (1*)+(2*) => 4x²+y² ≥ 8x/5+2y/5 - 4/25 - 1/25 = 2(4x+y)/5 - 5/25 = 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi x = y = 1/5 
------------- 
c) ad bđt cô si cho 3 số: 
ab/c + bc/a + ca/b ≥ 3.³√(ab/c)(bc/a)(ca/b) = 3.³√abc 
- - - - 
nếu như đề đã ghi, thay a = b = c = 2 thì VT = 2+2+2 = 6 < VP = 2.2.2 = 8  

*C/m: \(9(a+b)(b+c)(c+a)\ge8(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc\ge0\)

\(VT=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2\ge6\sqrt[6]{\left(abc\right)^6}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

# Dôn lùng đợi chiều tối về t giải phần căn bậc 4 kia cho :)

với \(x+y+z=3\Rightarrow3x=x\left(x+y+z\right)=x^2+xy+xz\Rightarrow3x+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

tương tự mấy cái kia nhé

Áp dụng bđt bu nhi a ta có \(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

=> \(x+\sqrt{3x+yz}\ge x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

=> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) 

tương tự mấy cái kia rồi cộng vào ta có 

\(A\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (ĐPCM)

bằng 1

Đặt K = 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2¹⁰⁰

K = 4 + (2³ + 2⁴ + 2⁵) + ......... + (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

<=> K = 4 + (8 + 16 + 32) + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)

<=>K = 4 + 56 + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)

<=>K = 60 + ... + (1.5845633e+29) +( 3.1691265e+29 ) + (6.338253e+29) + (1.2676506e+30)

<=> K = 60 + ... + 2.3768449e+30

<=> K = 2.3768449e+30 + ... + 60 + r 

=> r = 1.1789905e+27

=> r =  1

Đ/s:

Ps: Không chắc đâu nhé! Nhưng dù sao giúp bạn là mình vui rồi!

C= 2535301200456458802993406410744

1116 là kết quả của mk 

đúng ko sai