Gọi quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là :x(km)

Quãng đường An đã đi là 2x

Quãng đường Bình đã đi là \(2x:4=\dfrac{x}{2}\)

Gọi C là chỗ 2 người gặp nhau thì \(BC=\dfrac{x}{2}:2=\dfrac{x}{4}\)

Quãng đường AC là :\(x-\dfrac{x}{4}=\dfrac{3x}{4}\)

Thời gian An đi trên đoạn AC là :\(\dfrac{3x}{4}:4=\dfrac{3x}{16}\left(h\right)\)

Thời gian Bình đi trên đoạn BC là :\(\dfrac{x}{4}:3=\dfrac{x}{12}\left(h\right)\)

Có 20 phút =\(\dfrac{1}{3}\left(h\right)\)

Ta có phương trình :

\(\dfrac{3x}{16}-\dfrac{x}{12}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow9x-4x=16\)

\(\Leftrightarrow5x=16\)

\(\Leftrightarrow x=3,2\left(tmđk\right)\)

Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là 3,2km

Anh nhớ em ko?

Đừng giận em nữa mà!!!

Em xin lỗi!!!

\(DK:x>=0\)

\(Đat:t=\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}\left(t>=0\right)\)

\(\Leftrightarrow t^2=3x+1+2\sqrt{2x^2+x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{3}\sqrt{2x^2+x}=\dfrac{2}{3}t^2-2x-\dfrac{2}{3}\)

Phương Trình đề bài \(\Leftrightarrow t-2x+11=\dfrac{2}{3}t^2-2x-\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow2t^2-3t-35=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\left(N\right)\\t=-\dfrac{7}{2}\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Thay t=5 vào chỗ đặt ý rồi giải phương trình tìm x . Kết luận

a) \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x\left(ĐK:x\ge1\right)\)

Đặt: \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{1-\frac{1}{x}}=b\left(b\ge0\right)\)

Ta có: \(a+b=x\Rightarrow b=x-a\)

Lại có: \(a^2-b^2=x-\frac{1}{x}-1+\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2=x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x=x-1\)

\(\Leftrightarrow a-b=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow a-x+a=1-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow2a=1+x-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow2x=1+a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=0\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

Với \(a=1\) , ta có:

\(\sqrt{x-\frac{1}{x}}=1\)

\(\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=x\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\x-\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot\left(tm\right)\\x=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}\left(ktm\right)\end{array}\right.\)

Vậy \(x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) là nghiệm của pt đã cho

b) \(7\sqrt{x^3-1}=2x^2+5x-1\left(ĐK:x\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow7\sqrt{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=2\left(x^2+x+1\right)+3\left(x-1\right)\)

Đặt: \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{x^2+x+1}=b\left(b\ge0\right)\)

Khi đó ta có: \(7ab=2b^2+3a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(3a^2-6ab\right)-\left(ab-2b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3a\left(a-2b\right)-b\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(3a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-2b=0\\3a-b=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=2b\\3a=b\end{array}\right.\)

Với: \(a=2b\), ta có:

\(\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow x-1=4\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+4=x-1\)

\(\Leftrightarrow4x^2+3x+5=0\) (vô nghiệm)

Với: \(3a=b\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow9x-9=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=6\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-4=\sqrt{6}\\x-4=-\sqrt{6}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=4+\sqrt{6}\left(tm\right)\\x=4-\sqrt{6}\left(ktm\right)\end{array}\right.\)

Vậy \(x=4+\sqrt{6}\) là nghiệm của pt đã cho

cái phần a dòng đầu ghi đề nhầm phải là \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x\left(ĐK:x\ge1\right)\)

Ta có:

\(\sum\dfrac{a}{b^3+16}=\sum\left(\dfrac{a}{16}-\dfrac{ab^3}{16\left(b^3+16\right)}\right)\ge\dfrac{a+b+c}{16}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{192}\)

\(=\dfrac{3}{16}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{192}\)

Giờ ta cần chứng minh

\(ab^2+bc^2+ca^2\le4\)

Ta có bổ đề:

\(ab^2+bc^2+ca^2+abc\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)^3}{27}\)(cái này tự chứng minh nha)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le4-abc\le4\)

Ta chứng minh

ab²/192 - ab³/(16*(b³ + 16)) >= 0

<=> ab²(b + 4)(b - 2)²/(192b³ + 3072) >= 0

\(\frac{21}{x^2-4x+10}-x^2+4x-6\ge0\Leftrightarrow\frac{21}{x^2-4x+10}-\left(x^2-4x+10\right)+4\ge0\)

Đặt \(t=x^2-4x+10=\left(x-2\right)^2+6\), ta có điều kiện \(t\ge6\), khi đó \(t>0\)

Phương trình ban đầu tương đương : \(\frac{21}{t}-t+4\ge0\Leftrightarrow t^2-4t-21\le0\)

                                                                               \(\Leftrightarrow-3\le t\le7\)

Kết hợp với điều kiện \(t\ge6\), ta được \(6\le t\le7\)

Do đó :

\(\frac{21}{x^2-4x+10}-x^2+4x-6\ge0\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-2\right)^2+6\ge6\\\left(x-2\right)^2+6\le7\end{cases}\)

                                           \(\Leftrightarrow\left|x-2\right|\le1\)

                                          \(\Leftrightarrow1\le x\le3\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(T=\left[1;3\right]\)

mk tên phạm thảo vân đó

Để phương trình có ít nhất một nghiệm thì:

\(\Delta=\left(2p-1\right)^2-4\cdot3\cdot\left(p^2-6p+11\right)\ge0\)

=\(-8p^2+68p-131\) (1)

Giải pt (1) ta được:

\(p=\dfrac{17\pm3\sqrt{3}}{4}\)

chúc bạn học tốt!!!

nghiệm nguyên mà nhỉ?

Theo định lý vi-et ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy=a+b\\x+y=ab\end{matrix}\right.\) (với x,y à nghiệm của phương trình)

Giả sử ab>xy

Suy ra x+y>xy suy ra x.(1-y)+y-1>-1 suy ra (x-1)(y-1)<1 suy ra x=1 hoặc y=1

Suy ra 1-ab+a+b=0(vì tổng các hệ số =0) suy ra a=(1+b)/(b-1) ( đến đoạn này là ok)

Giả sử xy>ab Suy ra a+b>ab suy ra a=1 hoặc b=1

Với a=1 suy ra điều kiện để pt có nghiêm nguyên là: (đến đoạn này ok)

Trường hợp còn lại CM tương tự

Bài 2: Restore : a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\)

Tìm Min & Max của \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)

Bài 4: Tương đương giống hôm nọ thôi : V

Bài 5 : Thiếu ĐK thì vứt luôn : V

Bài 7: Tương đương

( Hoặc có thể AM-GM khử căn , sau đó đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) rồi áp dụng bổ đề vasile)

Bài 8 : Đây là 1 dạng của BĐT hoán vị

@Ace Legona @Akai Haruma @Hung nguyen @Hà Nam Phan Đình @Neet

\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{97}{4}}P=\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}\sqrt{c^2+\dfrac{1}{c^2}}\)

\(\ge\left(2a+\dfrac{9}{2a}\right)+\left(2b+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(2c+\dfrac{9}{2c}\right)\)

\(=2\left(a+b+c\right)+\dfrac{9}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\ge4+\dfrac{9}{2}.\dfrac{9}{a+b+c}=4+\dfrac{81}{4}=\dfrac{97}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)

PS: Lần sau chép đề cẩn thận nhé bạn.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a}{b+2c+3d}+\dfrac{b}{c+2d+3a}+\dfrac{c}{d+2a+3b}+\dfrac{d}{a+2b+3c}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+2ac+3ad}+\dfrac{b^2}{bc+2bd+3ab}+\dfrac{c^2}{cd+2ac+3bc}+\dfrac{d^2}{ad+2bd+3cd}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2}=\dfrac{2}{3}\)

*Chứng minh \(4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)\le\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\)

Làm lại lun ._.