a) Gọi d = ƯCLN(2n+5; 3n+7) (d thuộc N*)

=> 2n + 5 chia hết cho d; 3n + 7 chia hết cho d

=> 3.(2n + 5) chia hết cho d; 2.(3n + 7) chia hết cho d

=> 6n + 15 chia hết cho d; 6n + 14 chia hết cho d

=> (6n + 15) - (6n + 14) chia hết cho d

=> 6n + 15 - 6n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n+5; 3n+7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Câu b lm tương tự

 Gọi d = ƯCLN(2n+5; 3n+7) (d thuộc N*)

=> 2n + 5 chia hết cho d; 3n + 7 chia hết cho d

=> 3.(2n + 5) chia hết cho d; 2.(3n + 7) chia hết cho d

=> 6n + 15 chia hết cho d; 6n + 14 chia hết cho d

=> (6n + 15) - (6n + 14) chia hết cho d

=> 6n + 15 - 6n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n+5; 3n+7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Câu b lm tương tự

1. a) 2B = 1 + 1/2 + 1/2²+...+1/2⁹⁸

B - B = (1+1/2+...+1/2⁹⁸) - (1/2+....+1/2⁹⁹)

B = 1 - 2⁹⁹ => B < 1

b) Làm tương tự như câu a, ra là (1 - 1/3⁹⁹) : 2 = 1/2 - 1/2.3⁹⁹(C bé hơh 1/2)

1. a). Theo đầu bài ta có:
 \(B=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{98}+\left(\frac{1}{2}\right)^{99}\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{98}}+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{97}}+\frac{1}{2^{98}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{98}}+\frac{1}{2^{99}}\right)\)
\(\Leftrightarrow B=1-\frac{1}{2^{99}}< 1\)( đpcm )

abcabc = abc . 1000 + abc

<=> abcabc = abc . (1000 + 1) = abc . 1001

Suy ra a . bcd . abc = abcabc 

<=> a . bcd . abc = abc . 1001

<=> a . bcd = 1001

Đây là tích giữa số có 1 chữ số và số có 3 chữ số nên ta dễ dàng tìm được a = 7 ( vì từ 1 -> 9 chỉ có 1001 mới chia hết cho 7) từ đó suy ra bcd = 143

Vậy a = 7 ; b = 1 ; c = 4 ; d = 3

abcabc = abc . 1000 + abc

<=> abcabc = abc . (1000 + 1) = abc . 1001 

Suy ra a . bcd . abc = abcabc 

<=> a . bcd . abc = abc . 1001 

<=> a . bcd = 1001

Đây là tích giữa số có 1 chữ số và số có 3 chữ số nên ta dễ dàng tìm được a = 7 ( vì từ 1 -> 9 chỉ có 1001 mới chia hết cho 7) từ đó suy ra bcd = 143 

Vậy a = 7 ; b = 1 ; c = 4 ; d = 3 

a/Gọi 3 số tn liên tiếp là a , a+1 , a+2

Ta có A=a.(a+1).(a+2)

Chứng minh A chia hết cho 2: Chỉ có hai trường hợp

+Nếu a=2k =>A chia hết cho 2

+Nếu a=2k+1 =>a+1=2k+1+1= 2(k+1) =>A chia hết cho 2

Chứng minh A chia hêt cho 3: Chỉ có ba trường hợp

+Nếu a=3k =>A chia hết cho 3

+Nếu a=3k+1 =>a+2=3k+1+2=3k+3=3(k+1) =>A chia hết cho 3

+Nếu a=3k+2 =>a+1=3k+2+1=3k+3=3(k+1) =>A chia hết cho 3

vì A chia hết cho cả 2 và 3

mà ƯCLN(2,3)=1

vậy A chia hết cho 6

bài b bạn làm tương tự

1./ Gọi tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là: A = n*(n+1)(n-1)

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì:

• Có ít nhất 1 số chẵn: => A chia hết cho 2
• Có 1 số chia hết cho 3 => A chia hết cho 3.

A chia hết cho cả 2 và 3 mà U(2;3) = 1 => A chia hết cho 2x3 = 6. đpcm

2./ Tương tự, gọi tích B = a*(a + 1)*(2a + 1)

• a và a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chẵn => B chia hết cho 2.
• Nếu a hoặc a+1 chia hết cho 3 thì B chia hết cho 3.
• Bếu a và a+1 không chia hết cho 3 thì từ kết quả câu 1./ số tự nhiên tiếp theo: a+2 sẽ chia hết cho 3 hay 2a + 4 chia hết cho 3 hay 2a + 1 + 3 chia hết cho 3 => 2a + 1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3.

Như vậy, bất kỳ số tự nhiên a nào thì B cũng chia hết cho cả 2 và 3 => b chia hết cho 6.

Ta có: \(D=2\left(\frac{2}{1^2}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{2015^2}\right)< 2\left(2+\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{2013.2015}\right)\)

\(=2\left(2+1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}\right)=2\left(3-\frac{1}{2015}\right)=6-\frac{2}{2015}\)

Vậy D < 6.

\(D=\frac{\left(2!\right)^2}{1^2}+\frac{\left(2!\right)^2}{3^2}+\frac{\left(2!\right)^2}{5^2}+\frac{\left(2!\right)^2}{7^2}+...+\frac{\left(2!\right)^2}{2015^2}\)

=>\(D=\frac{\left(1.2\right)^2}{1^2}+\frac{\left(1.2\right)^2}{3^2}+\frac{\left(1.2\right)^2}{5^2}+\frac{\left(1.2\right)^2}{7^2}+...+\frac{\left(1.2\right)^2}{2015^2}\)

=>\(D=\frac{2^2}{1^2}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{2^2}{5^2}+\frac{2^2}{7^2}+...+\frac{2^2}{2015^2}\)

=>\(D=2\left(\frac{2}{1^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{2}{2015^2}\right)\)

Ta có: \(\frac{2}{1^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{2}{2015^2}< 2+\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2013.2015}\)

=>\(D=2\left(\frac{2}{1^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{7^2}+...+\frac{2}{2015^2}\right)< 2\left(2+\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2013.2015}\right)\)

Mà \(2\left(2+\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2013.2015}\right)\)\(=2\left(2+\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}\right)\)

\(=2\left(2+1-\frac{1}{2015}\right)=2\left(3-\frac{1}{2015}\right)=6-\frac{6}{2016}< 6\)

=>\(D< 2\left(2+\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2013.2015}\right)< 6\)

=>D<6

\(S=1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+......1-\frac{1}{n^2}=n-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+....\frac{1}{n^2}\right)\Rightarrow S< n\)
mặt khác \(S=n-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)>n-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n-1\right)}\right)=n-\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
suy ra \(S>n-1+\frac{1}{n}\Rightarrow S>n-1\)
vậy ta có \(n-1< S< n\)nên S không thể là số nguyên.

Ta có: 

S=1−14 +1−19 +......1−1n2 =n−(14 +19 +....1n2 )⇒S<n
mặt khác S=n−(122 +132 +...+1n2 )>n−(11.2 +12.3 +...+1n(n−1) )=n−(1−1n )
suy ra 

S>n−1+1n ⇒S>n−1
vậy ta có n−1<S<nnên S không thể là số nguyên.

mk hướng dẫn bạn nhé 

480 chia hết cho a 

600 chia hết cho a 

=> a thuộc ước chung ( 480;600 ) 

Vì a lớn nhất => a thuộc UCLN ( 480;600)

480=2^5.3.5

600=2^3.3.5^2

UCLN ( 480;600 ) = 120

=> a=120

Con tò

Do \(n+1\)không chia hết cho 4 nên \(n=4k+r\in\left\{0;2;3\right\}\)

Ta có : \(7^4-1=2400\div100\)

Ta viết : \(7^n+2=7^{4k+r}+2=7^r\left(7^{4k}-1\right)+7^r+2\)

Vậy hai chữ số tận cùng của \(7^n+2\) cũng chính là hai chữ số tận cùng của \(7^r+2\left(r=0;2;3\right)\) nên chỉ có thể \(03;51;45\)theo tính chất 5 thì rõ ràng \(7^n+2\) không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4 

TH1: x>o =>2 mũ x chẵn=>3y chẵn. Mà 3y lẻ=> ko có giá trị thích hợp

TH2: x=0=>2 mũ x=1=>3y=81.=> y=4

Vậy x =0; y =4

\(2^x+80=3^y\)  (1)

• Nếu x > 1 thì VT(1) chẵn không thể bằng VP(1) là 1 số lẻ.
• Do đó, x < 1 => x = 0.

Với x = 0 thì (1) \(\Rightarrow2^0+80=3^y\Rightarrow3^y=81=3^4\Rightarrow y=4\)

PT có nghiệm x=0 ; y=4.