Cấp số nhân lùi vô hạn SVIP

Tính tổng $S$ của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội $q = - \dfrac{1}{2}$.

Tổng vô hạn sau đây $S = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3^{2}} + \text{...} + \dfrac{2}{3^{n}} + \text{...}$ có giá trị bằng

Tổng $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2^{n}} + \text{...}$ bằng

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $3,15555... = 3,1(5)$ viết dưới dạng hữu tỉ là

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,5111 \cdots$ được biểu diễn bởi phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính tổng $T=a+b$.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $A=0,353535 \ldots$ được biểu diễn bởi phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $T=a b$.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $B=5,231231 \ldots$ được biểu diễn bởi phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $T=a-b$.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,17232323 \ldots$ được biểu diễn bởi phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Đặt $T=b-a$, khẳng định nào dưới đây đúng?

Từ độ cao $55,8m$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\dfrac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là $50$ cm. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao $8m$ so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng $2$ , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng $\dfrac{9}{4}$. Số hạng đầu $u_1$ của cấp số nhân đó là

Tổng của cấp số nhân vô hạn $\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{18}, \ldots, \dfrac{(-1)^{n+1}}{2.3^{n-1}}, \ldots$ bằng:

Tính tổng $S=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right)+\ldots+\left(\dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{3^n}\right)+\ldots$.

Giá trị của giới hạn $\lim \dfrac{1+a+a^2+\ldots+a^n}{1+b+b^2+\ldots+b^n}(|a|<1,|b|<1)$ bằng

Giá trị của giới hạn $\lim \dfrac{1+a+a^2+\ldots+a^n}{1+b+b^2+\ldots+b^n}(|a|<1,|b|<1)$ bằng:

Rút gọn $S=1+\cos ^2 x+\cos ^4 x+\cos ^6 x+\cdots+\cos ^{2 n} x+\cdots$ với $\cos x \neq \pm 1$.

Rút gọn $S=1-\sin ^2 x+\sin ^4 x-\sin ^6 x+\cdots+(-1)^n \cdot \sin ^{2 n} x+\cdots$ với $\sin x \neq \pm 1$.

Thu gọn $S=1-\tan \alpha+\tan ^2 \alpha-\tan ^3 \alpha+\ldots$ với $0<\alpha<\dfrac{\pi}{4}$.

Cho $m, n$ là các số thực thuộc $(-1 ; 1)$ và các biểu thức:

$M=1+m+m^2+m^3+\ldots$

$N=1+n+n^2+n^3+\ldots$

$A=1+m n+m^2 n^2+m^3 n^3+\ldots$

Khẳng định nào dưới đây đúng?