Bài tập tự luận (Nâng cao) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{E D}$.
$\begin{aligned}
&\Leftrightarrow(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B})+\overrightarrow{C D}+(\overrightarrow{E A}-\overrightarrow{E D})=\overrightarrow{0} \\
&\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0} \\
&\Leftrightarrow \overrightarrow{A A}=\overrightarrow{0} .
\end{aligned}$
b) $\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{E D}$.
$\begin{aligned}
&\Leftrightarrow \overrightarrow{C D}-\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{E D}-\overrightarrow{E A} \\
&\Leftrightarrow \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A D}
\end{aligned}$

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{E F}$

- $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{E F}(1)$.
Do $E$ là trung điểm $A B$ nên $2 \overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ với $O$ là một điểm tùy ý.

Do $F$ là trung điểm $C D$ nên $2 \overrightarrow{O F}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$ với $O$ là một điểm tùy ý.

(1) $\Leftrightarrow \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O F}-2 \overrightarrow{O E}$
$\begin{aligned}&\Leftrightarrow \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O B}=(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D})-(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \\&\Leftrightarrow(\underbrace{\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O C}}_{\overrightarrow{0}})+(\underbrace{\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O D}}_{\overrightarrow{0}})-(\underbrace{\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O B}}_{\overrightarrow{0}})+(\underbrace{\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O A}}_{\overrightarrow{0}})=\overrightarrow{0} \Rightarrow \text { ĐPCM. }\end{aligned}$
$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{E F}(2)$

Do $E$ là trung điểm $A B$ nên $2 \overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ với $O$ là một điểm tùy ý.

Do $F$ là trung điểm $C D$ nên $2 \overrightarrow{O F}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$ với $O$ là một điểm tùy ý.

$(2) \Leftrightarrow \overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}=2 \overrightarrow{O F}-2 \overrightarrow{O E}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}=(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D})-(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$
$\Leftrightarrow(\underbrace{\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O C}}_{\overrightarrow{0}})+(\underbrace{\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{O D}}_{\overrightarrow{0}})-(\underbrace{\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O B}}_{\overrightarrow{0}})+(\underbrace{\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O A}}_{\overrightarrow{0}})=\overrightarrow{0} \Rightarrow \text { ĐPCM. }$
b) $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$ (3).

Do $E$ là trung điểm $A B$ nên $2 \overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ với $O$ là một điểm tùy ý.

Do $F$ là trung điểm $C D$ nên $2 \overrightarrow{O F}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$ với $O$ là một điểm tùy ý.

$(3) \Leftrightarrow(2 \overrightarrow{G E}-\overrightarrow{G B})+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+(2 \overrightarrow{G F}-\overrightarrow{G C})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 2 \overrightarrow{G E}+2 \overrightarrow{G F}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2(\underbrace{\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F}}_{\overrightarrow{0}})=\overrightarrow{0} \Rightarrow \text { ĐPCM. }$

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B})$.

- Chứng minh $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})$.

Vì $M$ là trung điểm của $A D$ nên $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M D}=\overrightarrow{0}$.

Vì $N$ là trung điểm của $B C$ nên $\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C N}=\overrightarrow{0}$.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B N} \\ \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C N}\end{array}\right.$ $\Rightarrow 2 \overrightarrow{M N}=(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M D})+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+(\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C N})=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D} .$ $\Rightarrow \overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}) .$

- Chứng minh $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}) .$ $\{\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B} \Rightarrow .$

Vậy: $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B})$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $M N$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I D}=\overrightarrow{0}$.

Áp dụng hệ thức trung điểm, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I D}=2 \overrightarrow{I M} \\\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I D}=2 \overrightarrow{I N}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I D}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I D}=2(\overrightarrow{I M}+\overrightarrow{I N})=   2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} .\right.$

Hướng dẫn giải:

Vì $O$ là tâm của hình lục giác đều $A B C D E F$ nên ta có: $\overrightarrow{O A}$ và $\overrightarrow{O D} ; \overrightarrow{O B}$ và $\overrightarrow{O E} ; \overrightarrow{O C}$ và $\overrightarrow{O F}$ là các cạ̄p vectơ đối nhau nên ta có:
$\begin{aligned} &\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{0} \\ &\Leftrightarrow(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D})+(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O E})+(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O F})=\overrightarrow{0} \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} . \end{aligned}$

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng: hai vectơ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ và $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{O D}$.

Gọi $d$ là đường thẳng chứa $O D$ thì $d$ là một trục đối xứng của ngū giác đều. Ta có:

$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O M}$, trong đó $M$ là đinh của hình thoi $O A M B$ và $M \in d$.

Tương tự: $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O N}$, trong đó $N$ là đỉnh của hình thoi $O E N C$ và $N \in d$.

Do đó: hai vectơ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ và $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}$ đều có giá là đường thẳng $d$ nên cùng phương với nhau và cùng phương với $\overrightarrow{O D}$.

b) Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{E C}$ cùng phương.

Ta có: $O A M B$ và $O E N C$ là các hình thoi nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}E C \perp d \\ A B \perp d\end{array} \Rightarrow A B / / E C\right.$.

Do đó: hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{E C}$ cùng phương.

c) Chứng minh: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{0}$.

Theo câu a) ta có:
$\vec{v}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}=(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})+(\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E})+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O D}$
Nên $\vec{v}$ có giá là đường thẳng $d$.

Mặt khác: $\vec{v}=(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})+(\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O A})+\overrightarrow{O E}$ thì $\vec{v}$ có giá là đường thẳng $O E$.
Vì $\vec{v}$ có 2 giá khác nhau nên $\vec{v}=\overrightarrow{0}$.
Vậy $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A C}=-\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A C}$
$=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})+\overrightarrow{A C}$
Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$ suy ra
$\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A C}=-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}.$

b) Vì $\mathrm{ABCD}$ là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{C O} \Rightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{0}$
Tương tự: $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$.
c) Cách 1: Vì $\mathrm{ABCD}$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C} \Rightarrow \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}$
$\begin{aligned}\Rightarrow \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C} &=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{D C} \\
&=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}\end{aligned}$
Cách 2: Đẳng thức tương đương vởi
$\overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M D}-\overrightarrow{M C} \Leftrightarrow \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}$ (đúng do $A B C D$ là hình bình hành).

Hướng dẫn giải:

a) Vì $P N, M N$ là đường trung bình của tam giác $A B C$ nên
$P N / / B M, M N / / B P$ suy ra tứ giác $B M N P$ là hình bình hành
$\Rightarrow \overrightarrow{B M}=\overrightarrow{P N}$
$N$ là trung điểm của $A C \Rightarrow \overrightarrow{C N}=\overrightarrow{N A}$
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
$$
\begin{aligned}
&\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{A P}=(\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{N A})+\overrightarrow{A P} \\
&=\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
$$
b) Vì tứ giác $A P M N$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{A M}$, kết hợp với quy tắc trừ
$$
\Rightarrow \overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{C M}+\overrightarrow{B M}
$$
Mà $\overrightarrow{C M}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{0}$ do $M$ là trung điểm của $B C$.
Vậy $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{0}$.
c) Theo quy tắc ba điểm ta có
$$
\begin{aligned}
&\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P A})+(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{M B})+(\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{N C}) \\
&=(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P})+\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{N C} \\
&=(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P})-(\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{A P})
\end{aligned}
$$
Theo câu a) ta có $\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{0}$ suy ra $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O P}$.

Hướng dẫn giải:

Giả sữ: $\vec{a}=\overrightarrow{A B}$ và $\vec{b}=\overrightarrow{B C}$ thì $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$.
a) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì 3 điểm $A, B, C$ cùng thuộc một đường thẳng và $B$ nằm giừa $A, C$.

Do đó $|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A C}|=A B+B C=|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
Vậy $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
b) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $|\vec{b}| \geq|\vec{a}|$ thì $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|-|\vec{a}|$.
Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $|\vec{b}| \geq|\vec{a}|$ thì ba điểm $A, B, C$ cùng thuộc một đường thẳng và $A$ nằm giừa $B, C$.

Do đó $|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=A C=B C-A B=|\vec{b}|-|\vec{a}|$.
Vậy $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|-|\vec{a}|$.
c) $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
Từ chứng minh ở câu a và b:
$\Rightarrow$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương thì $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ hoặc $|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương thi $A, B, C$ không thẳng hàng.
Xét $\triangle A B C$ có hệ thức $A C<A B+B C$. Do đó $|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
Như vậy, trong mọi trường hợp ta có: $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$, đẳng thức xảy ra khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Hướng dẫn giải:

Theo quy tắc ba điểm ta có
- $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$
Mà $\sin \widehat{A B C}=\dfrac{A C}{B C}$
$\Rightarrow A C=B C \cdot \sin \widehat{A B C}=a \sqrt{5} \cdot \sin 30^{\circ}=\dfrac{a \sqrt{5}}{2}$
Do đó $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A C}|=A C=\dfrac{a \sqrt{5}}{2}$
- $\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}$
Ta có $A C^{2}+A B^{2}=B C^{2} \Rightarrow A B=\sqrt{B C^{2}-A C^{2}}=\sqrt{5 a^{2}-\dfrac{5 a^{2}}{4}}=\dfrac{a \sqrt{15}}{2}$
Vì vậy $|\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A B}|=A B=\dfrac{a \sqrt{15}}{2}$
- Gọi $D$ là điểm sao cho tứ giác $A B D C$ là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}$
Vì tam giác $A B C$ vuông ở $A$ nên tứ giác $A B D C$ là hình chữ nhật suy ra $A D=B C=a \sqrt{5}$
Vậy $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A D}|=A D=a \sqrt{5}$.

Hướng dẫn giải:

a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$
Suy ra $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A C}|=A C$.
Áp dụng định lí Pitago ta có
$$
A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}=2 a^{2} \Rightarrow A C=\sqrt{2} a
$$
Vậy $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=a \sqrt{2}$
+ Vì O là tâm của hình vuông nên $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{C O}$ suy ra
$$
\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{C O}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{B C}
$$
Vậy $|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{B C}|=a$
+ Do $A B C D$ là hình vuông nên $\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B A}$ suy ra $\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B D}$ Mà $|\overrightarrow{B D}|=B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=a \sqrt{2}$ suy ra $|\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}|=a \sqrt{2}$
b) Theo quy tắc trừ ta có
$$
\vec{u}=(\overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M C})+(\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M D})=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{D B}
$$
Suy ra $\vec{u}$ không phụ thuộc vị trí điểm $M$.
Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $D B$ cắt $B C$ tại $C^{\prime}$.
Khi đó tứ giác $A D B C^{\prime}$ là hình bình hành (vì có 2 cặp cạnh đối song song) suy ra $\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{A C^{\prime}}$
Do đó $\vec{u}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A C^{\prime}}=\overrightarrow{C C^{\prime}}$
Vì vậy $|\vec{u}|=\left|\overrightarrow{C C^{\prime}}\right|=B C+B C^{\prime}=a+a=2 a$.