Tổng và hiệu của hai vectơ SVIP

I. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa

• Với ba điểm bất kì \(A,B,C\), vectơ \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\), kí hiệu là \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\)
• Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). Lấy một điểm \(A\) tùy ý và vẽ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) và được kí hiệu là \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\)

 

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. ​

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu \(ABCD\) là một hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

 3. Tính chất

Tính chất: Với ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) tùy ý:

• Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\);
• Tính chất kết hợp: \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\);
• Tính chất của vectơ-không: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.\)

 II. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Hai vectơ đối nhau

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{a}\), kí hiệu là \(-\overrightarrow{a}\).

Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(-\overrightarrow{a}\) được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{0}\) là vectơ \(\overrightarrow{0}.\)

Nhận xét: 

• \(\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\left(-\overrightarrow{a}\right)+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.\)
• Hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}.\)
• Với hai điểm \(A,B\), ta có: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}.\)

Chú ý:

• \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).
• \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).

 2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và vectơ \(\overrightarrow{b}\) là tổng của vectơ \(\overrightarrow{a}\) và vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{b}\) , kí hiệu là \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.\)

Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Nhận xét: Với ba điểm \(A,B,O\) bất kì, ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.\)

Ví dụ: Cho bốn điểm \(A,B,C,D\). Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\).

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}.\)

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{0}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\) (đpcm)

b) Xét \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\overrightarrow{CB}-\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)\)

\(=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0.}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\) (đpcm).