a/ 

Hai tg ABD và tg ABC có chung AB, đường cao từ D->AB = đường cao từ C->AB nên \(S_{ABD}=S_{ABC}\)

Hai tg trên có phần diện tích chung là \(S_{ABI}\Rightarrow S_{ADI}=S_{BCI}\)

Tương tự \(S_{ADC}=S_{BCD}\)

b/

Hai tg AIB và tg BIC có chung BI nên

\(\dfrac{S_{AIB}}{S_{BIC}}=\) đường cao từ A->BD = đường cao từ C-> BD \(=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\)

Ta có

\(S_{ABD}=S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}=4+10=14cm^2\)

Hai tg ABD và tg BCD có chung BD nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\) đường cao từ A->BD = đường cao từ C-> BD\(=\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow S_{BCD}=\dfrac{5xS_{ABD}}{2}=\dfrac{5x14}{2}=35cm^2\)

\(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=14+35=49cm^2\)

chia đều 2 bên đĩa cân mỗi bên 4 quyển sẽ xảy ra 2 trường hợp

Trường hợp 1: nếu cân thăng bằng thì quyển còn lại là quyển nhẹ

Trường hợp 2: nếu cân không thăng bằng thì bên đĩa cân bổng lên là bên chứa quyển nhẹ. lấy 4 quyển bên đĩa cân bổng lên chia vào 2 bên đĩa cân mỗi bên 1 quyển

+ Trường hợp a: nếu cân không thăng bằng thì bên đĩa cân bổng lên là quyển nhẹ

+ Trường hợp b: nếu cân thăng bằng thì lấy 2 quyển còn lại làm như trường hợp a sẽ xác định được quyển nhẹ

a/

Xét 2 tg vuông ACE và tg vuông DCE có

CE chung

\(\widehat{ACE}=\widehat{DCE}\) (gt)

=> tg ACE = tg DCE (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{DEC}\) => CE là phân giác \(\widehat{AED}\)

b/

Gọi M là giao của CE và AD

Ta có tg ACE = tg DCE (cmt) => AC=DC

Xét tg ACM và tg DCM có

AC=DC; CM chung

\(\widehat{ACM}=\widehat{DCM}\)

=> tg ACM = tg DCM (c.g.c) => MA=MD (1)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{DMC}=\dfrac{\widehat{AMD}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow CE\perp AD\) (2)

Từ (1) và (2) => CE là đường trung trực của AD

a/

\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2022}\)

b/

\(A=2A-A=2^{2022}-1\)

Hai tg ABM và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên

\(\dfrac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow S_{ABM}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\)

Hai tg BCN và tg ABC có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{BCN}}{S_{ABC}}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow S_{BCN}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{ABM}=S_{BCN}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\)

C/m tương tự ta cũng có

\(S_{APC}=S_{BCN}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\)

Ta có

\(S_{KIJ}=S_{ABC}-S_{ABM}-S_{CMIN}-S_{ANJK}=\)

\(=S_{ABC}-S_{ABM}-\left(S_{BCN}-S_{BIM}\right)-\left(S_{APC}-S_{APK}-S_{CJN}\right)=\)

\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{3}S_{ABC}-\left(\dfrac{1}{3}S_{ABC}-S_{BIM}\right)-\left(\dfrac{1}{3}S_{ABC}-S_{APK}-S_{CJN}\right)=\)

\(=S_{APK}+S_{BIM}+S_{CJN}\)
 

S=1.2.3+2.3.(4+1)+3.4.(5+2)+...+n(n+1)[(n+2).(n-1)=

=1.2.3+1.2.3+2.3.4+2.3.4+3.4.5+...+(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)=

=2[1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-1)n(n+1)]+n(n+1)(n+2)

Đặt 

A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-1)n(n+1)

4A=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+(n-1)n(n+1).4=

=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+(n – 1).n.(n + 1).[(n + 2) – (n – 2)]

=1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + … + (n – 1).n(n + 1).(n + 2) – (n – 2).(n – 1).n.(n + 1)=

= (n – 1).n(n + 1).(n + 2)

2A=\(\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

S=2A+n(n+1)(n+2)

a/

M là trung điểm AB\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

Hai tg AMC và tg ABC có chung đường cao từ C->AB nên

\(\dfrac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{AMC}=\dfrac{S_{ABC}}{2}=\dfrac{160}{2}=80cm^2\)

b/

Hai tg AMN và tg AMC có chung đường cao từ M->AC nên

\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{AMC}}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow S_{AMN}=\dfrac{S_{AMC}}{4}=\dfrac{80}{4}=20cm^2\)

\(=\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3}.\dfrac{5}{4}.....\dfrac{99}{98}.\dfrac{100}{99}=\dfrac{100}{2}=50\)

a/ H và E cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông => ABHE là tứ giác nội tiếp

b/

\(\widehat{BDC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông BHI và tg vuông BDC có

\(\widehat{DBC}\) chung => tg BHI đồng dạng với tg BDC

\(\Rightarrow\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{BH}{BD}\Rightarrow BI.BD=BH.BC\)

c/

Xét tứ giác nội tiếp ABHE có

\(\widehat{HAE}=\widehat{CBD}\) (góc nt cùng chắn cung HE) (1)

\(\widehat{AHE}=\widehat{ABD}\) (góc nt cùng chắn cung AE) (2)

Xét (O) có

\(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}\) (góc nt cùng chắn cung CD) (3)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (góc nt cùng chắn cung AD) (4)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{CAD}\)  (5)

Từ (2) và (4) \(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\) (6)

Từ (5) và (6) => tg AHE đồng dạng với tg ACD (g.g.g)

d/

Phần tính toán bạn kiểm tra lại nhé, đại khái cách làm là như thế