a) Do MN ⊥ DE tại N, MK ⊥ DF tại K nên $\widehat{\text{MND}}=90°$ và $\widehat{\text{MKD}}=90°$

Tứ giác DKMN có $\widehat{\text{KDN}}=90°;$ $\widehat{\text{MKD}}=90°;$ $\widehat{\text{MND}}=90°$ nên DKMN là hình chữ nhật.

b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

$\text{MD}=\frac{1}{2}\text{EF}=\text{ME}$.

Suy ra ∆MDE cân tại M.

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra $\text{ND}=\text{NE}=\frac{\text{DE}}{2}$.

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ME.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của $\widehat{\text{KDN}}$, hay DM là đường phân giác của góc FDE .

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF

Do đó ∆DEF cân tại D

Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.

Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.

a) Vì $AB=2BC$ suy ra ��=��2=��BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

1: AM+MB=AB

BN+NC=BC

CP+PD=CD

QD+QA=AD

mà AB=BC=CD=AD và AM=BN=CP=QD

nên BM=CN=PD=QA

2: Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔNBM vuông tại B có

MA=NB

AQ=BM

Do đó: ΔMAQ=ΔNBM

=>MQ=MN(1)

Xét ΔMBN vuông tại B và ΔNCP vuông tại C có

MB=NC

BN=CP

Do đó: ΔMBN=ΔNCP

=>MN=NP(2)

Xét ΔNCP vuông tại C và ΔPDQ vuông tại D có

NC=PD

CP=DQ

Do đó: ΔNCP=ΔPDQ

=>NP=PQ(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MQ=MN=NP=PQ

ΔMAQ=ΔNBM

=>$\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}$

mà $\widehat{BNM}+\widehat{BMN}=90^0$(ΔBMN vuông tại B)

nên $\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0$

$\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{NMB}=180^0$

=>$90^0+\widehat{QMN}=180^0$

=>$\widehat{QMN}=90^0$

Xét tứ giác MNPQ có

MN=NP=PQ=MQ

nên MNPQ là hình thoi

Hình thoi MNPQ có $\widehat{QMN}=90^0$

nên MNPQ là hình vuông

a/

Ta có

IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có

MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

Mà $AB\perp AC$ 

$\Rightarrow MI\perp AC\Rightarrow MK\perp AC$

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/

Ta có

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Để AMCK là hình vuông $\Rightarrow AM\perp BC$ => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

Vì ΔABC vuông cân tại A nên $\angle$B = $\angle$C = ${45}^0$

Vì ΔBHE vuông tại H có $\angle$B = ${45}^0$ nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có $\angle$C = ${45}^0$ nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có $\angle$(EHG) = ${90}^0$ nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

$AC\perp Oy$ (gt); $Ox\perp Oy$ (gt) => AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà $\widehat{xOy}=90^o$

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông

1/5 + 4/5 : x = 0,75

a)2/3 x 5/4 - 3/4 x 2/3

= 2/3 x (5/4 - 3/4)

= 2/3 x 1/2

= 1/3

b) 2 x (-3/2)^2 - 7/2

= 2 x 9/4 - 7/2

= 9/2 - 7/2

=1

c) -3/4 x 5/3/13 - 0,75 x 36/13

= 3/4 x (-68/13) + 3/4 x (-36/13)

= 3/4 x [(-68/13) + (-36/13)]

=3/4 x 8

=6