a) Xét tam giác $ABC$ có $AB=AC$ và $AO$ là đường phân giác của góc $BAC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó $AO$ cũng là đường cao, đường trung tuyến của $\Delta BAC$.

Vậy $AO$ vuông góc với $BC$.

b) Ta có $\widehat{BDC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathrm{CB}}$ (góc nội tiếp)

$\widehat{BOC}=\stackrel{⌢}{\mathrm{CB}}$ (góc ở tâm)

Mặt khác $\widehat{BAC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{BOC}$ nên $\widehat{BAC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathrm{CB}}$.

Vậy $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$, suy ra $OA//CD$ (hai góc đồng vị bằng nhau).

c) Xét tam giác $ABO$ và tam giác $BKO$ có:

$\widehat{ABO}=\widehat{BKO}=90^{\circ }$

$\widehat{BOA}$: góc chung 

Suy ra $\Delta ABO\sim \Delta BKO$ (g.g).

Do đó ta có tỉ số $\genfrac{}{}{0ex}{}{AO}{BO}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BO}{KO}$ hay $OA.OK=O{B}^2=6^2=36$ (cm).

Xét tam giác vuông $ABO$ có: $\sin \widehat{BAO}=\genfrac{}{}{0ex}{}{OB}{OA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}$.

Suy ra $\widehat{BAO}=30^{\circ }$.

Đổi $1$ giờ $25$ phút $=\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{12}$ giờ; $1$ giờ $30$ phút $=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước lần lượt là $x$ (km/h) và $y$ (km/h). Điều kiện $x>0,y>0,x>y$.

Trong lần 1

+) Vận tốc xuôi dòng là $x+y$ km/h, quãng đường xuôi dòng là $20$ km nên thời gian xuôi dòng là $\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{x+y}$ (giờ).

+) Vận tốc ngược dòng là $x-y$ km/h, quãng đường ngược dòng là $18$ km nên thời gian ngược dòng là $\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{x-y}$ (giờ).

Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết $\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{12}$ giờ nên ta có phương trình

$\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{12}$     (1)

Trong lần 2

+) Vận tốc xuôi dòng là $x+y$ (km/h), quãng đường xuôi dòng là $15$ km nên thời gian xuôi dòng là $\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{x+y}$ (giờ).

+) Vận tốc ngược dòng là $x-y(km/h)$, quãng đường ngược dòng là $24$ km nên thời gian ngược dòng là $\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{x-y}$ (giờ).

Vì tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng hết $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$ giờ nên ta có phương trình

$\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

{20�+�+18�−�=171215�+�+24�−�=32⎩⎨⎧​​x+y20​+x−y18​=1217​x+y15​+x−y24​=23​​

{60�+�+54�−�=17460�+�+96�−�=74⎩⎨⎧​​x+y60​+x−y54​=417​x+y60​+x−y96​=47​​

{60�+�+54�−�=17442�−�=74⎩⎨⎧​​x+y60​+x−y54​=417​x−y42​=47​​

Quy đồng ta được hệ {�+�=30�−�=24{​x+y=30x−y=24​

Giải hệ trên, ta được: {�=27�=3{​x=27y=3​ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là $27$ km/h và $3$ km/h.

$A=\sqrt{2-\sqrt{3}}.(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$A=\sqrt{2}.(\sqrt{2-\sqrt{3}})+\sqrt{6}.(\sqrt{2-\sqrt{3}})$

$A=\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

$A=\sqrt{1+3-2\sqrt{1.3}}+\sqrt{12-2.3\sqrt{3}}$

$A=\sqrt{1^2-2\sqrt{1.3}+(\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{3^2-2.3\sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2}$

$A=\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{(3-\sqrt{3}{)}^2}$

$A=\sqrt{3}-1+3-\sqrt{3}=2$.

Gọi $x$ là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần ($x\in [1;2500]$, đơn vị cái).

Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}$ nên chi phí lưu kho tương ứng là $10.\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{2}=5x$ $(\$)$

Số lần đặt hàng mỗi năm là $\genfrac{}{}{0ex}{}{2500}{x}$ và chi phí đặt hàng là:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{2500}{x}.(20+9x)$ $(\$)$

Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:

$C(x)=\genfrac{}{}{0ex}{}{2500}{x}.(20+9x)+5x=5x+\genfrac{}{}{0ex}{}{50000}{x}+22500$

Ta có $5x+\genfrac{}{}{0ex}{}{50000}{x}\le 2\sqrt{5x.\genfrac{}{}{0ex}{}{50000}{x}}=1000$.

Suy ra $C(x)\le 23500$. Dấu $"="$ xảy ra khi $5x=\genfrac{}{}{0ex}{}{50000}{x}$, khi đó $x=100$.

Vậy mỗi năm, cửa hàng nên đặt $100$ cái ti vi để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất.

Gọi số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là $x$ và $y$ (học sinh). Điều kiện: $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$

Do cả hai trường có $840$ học sinh thi đỗ vào lớp $10$ và đạt tỉ lệ thi đỗ là $84\%$ nên ta có phương trình:

$84\%.(x+y)=840$ hay $x+y=1000$ (1)

Vì trường A tỉ lệ thi đỗ là $80\%$, trường B tỉ lệ thi đỗ là $90\%$ nên ta có phương trình:

$80\%.x+90\%.y=840$

$0,8x+0,9y=840$

$8x+9y=8400$ (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:

{�+�=10008�+9�=8400{​x+y=10008x+9y=8400​

{9�+9�=90008�+9�=8400{​9x+9y=90008x+9y=8400​

{�=600�=400{​x=600y=400​ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là $600$ và $400$ (học sinh).

a. Rút gọn $P$.

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x(\sqrt{x}+2)+2(\sqrt{x}-1)+x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x\sqrt{x}+2x+2\sqrt{x}-2+x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{x\sqrt{x}+2x+2\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.

b. Tính $P$ khi $x=3+2\sqrt{2}$.

Xét $x=3+2\sqrt{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

$\sqrt{x}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1{)}^2}=\sqrt{2}+1$.

Khi đó: 

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2}+1+1}{\sqrt{2}+1-1}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$.

$A=2.\sqrt{80}-2.\sqrt{245}+2\sqrt{180}$

$A=2.\sqrt{16.5}-2.\sqrt{49.5}+2\sqrt{36.5}$

$A=8\sqrt{5}-14\sqrt{5}+12\sqrt{5}$

$A=6\sqrt{5}$.

Gọi số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là $x$ (công nhân), $y$ (ngày).

Điều kiện: $x>10,y>2,x\in N$.

Lượng công việc theo dự định là $xy$ (ngày công).

Trường hợp 1: Số công nhân là $x+10$ (công nhân), số ngày là $y-2$ (ngày).

Do đó lượng công việc là $(x+10)(y-2)$ (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

$(x+10)(y-2)=xy$

$-2x+10y=20(1)$

Trường hợp 2: Số công nhân là $x-10$ (công nhân), số ngày là $y+3$ (ngày).

Do đó lượng công việc là $(x-10)(y+3)$ (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

$(x-10)(y+3)=xy$

hay $3x-10y=30(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

{−2�+10�=203�−10�=30{​−2x+10y=203x−10y=30​

{�=50�=12{​x=50y=12​ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là $50$ (công nhân), $12$ (ngày).

Xét tam giác vuông ADC, ta có: $\widehat{ADC}+\widehat{ACD}=90^{\circ }$

Xét tam giác vuông ABC, ta có: $\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ADC}$.

Khi đó $\tan \widehat{ACB}=\tan \widehat{ADC}$.

Hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{AD}$.

Suy ra $AB=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC.AC}{AD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{30.30}{20}=45$ (m).

Từ đó tính được $\widehat{ACB}\approx 56^{\circ }$.

a) Gọi $I$ là trung điểm của $OM$. Xét tam giác vuông $MAO$ có $AI$ là trung tuyến nên $AI=IM=IO$ (1)

Tương tự, xét tam giác $MBO$ có $BI=IM=IO$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AI=IM=IO=IB$. Vậy $A,M,B,O$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$, bán kính $IA$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$. Theo tính chất, hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $OM$ là phân giác góc $AOB$.

Mặt khác $AOB$ là tam giác cân tại $O$, nên $OH$ cũng là đường cao, đường trung tuyến của $\Delta AOB$.

Khi đó $AH=BH=3$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $AHO$, ta có:

$HO=\sqrt{A{O}^2-A{H}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (cm).

Ta có $\sin \widehat{AOH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AH}{AO}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}$

Suy ra $\widehat{AOB}=2\widehat{AOH}\approx 74^{\circ }$.

c) Ta có $\cos \widehat{AOH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{OH}{AO}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{5}$.

Xét tam giác vuông $MAO$, ta có:

$\cos \widehat{AOH}=\cos \widehat{AOM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AO}{OM}$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AO}{OM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{5}$, khi đó $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{5OA}{4}=\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{4}$ (cm).

Xét tam giác cân $OMD$ có $OA$ là đường cao nên cũng là phân giác, đường trung tuyến.

Suy ra $\widehat{DOC}=4\widehat{AOM}=4\widehat{AOH}\approx 148^{\circ }$. Hay số đo cung nhỏ $CD$ bằng $148^{\circ }$.

Do đó diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ $CD$ là:

$S^q=\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{360}.\pi R^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{148}{350}.\pi .(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{4}{)}^2\approx 50$ (cm${}^2$).