Question

[Phạm Văn Hùng]

Cho tam giác đều ABC. Điểm M nằm trong tam giác sao cho: MA=1cm, MB=2cm và MC=căn3cm. Tính độ dài của các cạnh tam giác ABC. Tính số đo các góc AMC, BMA, CMA

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Vẽ tam giác đều AMN trên nửa mặt phẳng bờ AM chứa điểm B.Kẻ BD vuông góc với AM tại D.

Ta có:\(\widehat{NAB}=\widehat{NAM}-\widehat{BAM}=60^0-\widehat{BAM}\)

\(\widehat{MAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAM}=60^0-\widehat{BAM}\)

\(\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{MAC}\)

Xét \(\Delta\)AMC và \(\Delta\)ANB có:AM=AN,^NAB=^MAC,AB=AC => \(\Delta AMC=\Delta ANB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}AN=AM=MN=1\\BN=CM=\sqrt{3}\end{cases}}\)

Ta có:\(BN^2+MN^2=\sqrt{3}+1^2=4=BM^2\)

\(\Rightarrow\Delta BNM\) vuông tại N.

\(\Rightarrow\widehat{BNM}=90^0,BM=2MN\)

\(\Rightarrow\widehat{NMB}=60^0\Rightarrow\widehat{AMB}=120^0\)

Mà \(\Delta ANB=\Delta AMC\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{AMC}=60^0+60^0=120^0\)(^AMC có khác gì ^CMA đâu má)

Ta có:\(\widehat{BMD}=180^0-\widehat{BMA}=180^0-120^0=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MBD}=30^0\Rightarrow MB=2MD\Rightarrow MD=1\Rightarrow AD=2\)

Xét \(\Delta\)BNM và \(\Delta\)BDM có:BM  là cạnh chung,^NBM=^DBM(cùng bằng 30 độ) => \(\Delta BNM=\Delta BDM\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow BN=BD=\sqrt{3}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABD ta được:\(AB^2=AD^2+BD^2=2^2+\sqrt{3}^2=4+3=7\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{7}\).Mà \(\Delta\)ABC đều nên \(AB=BC=CA=\sqrt{7}\)