Question

[Mafia]

cho hệ phương trình :

\(\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x-y=m+1\\x+\left(m-1\right)y=2\end{cases}}\)

a) giải hệ phương trình khi \(m=0\)

b) khi hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\) tìm GTNN của biểu thức \(S=x+y\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a)   Với m = 0 thì ta có hệ:

\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x-y=2\end{cases}}\)

Ta thấy ngay phương trình vô nghiệm.

b) \(\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x-y=m+1\\x+\left(m-1\right)y=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x-y=m+1\\\left(m+1\right)x+\left(m^2-1\right)y=2\left(m+1\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x-y=m+1\\m^2y=m+1\end{cases}}\)

Với m = 0 : phương trình vô nghiệm.

Với \(m\ne0\), ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x-\frac{m+1}{m^2}=m+1\\y=\frac{m+1}{m^2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{m^2+1}{m^2}\\y=\frac{m+1}{m^2}\end{cases}}\)

Vậy thì \(S=x+y=\frac{m^2+m+2}{m^2}=1+\frac{1}{m}+\frac{2}{m^2}\)

Đặt \(\frac{1}{m}=t\Rightarrow S=2t^2+t+1=2\left(t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16}\right)+\frac{7}{8}\)

\(=2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\ge\frac{7}{8}\)

Vây minS = \(\frac{7}{8}\) khi m = -4.