Question

[Dương Thiên Tuệ]

Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB song song CD và AB<CD,M là trung điểm CD, P là điểm di chuyển trên đoạn MD ( P khác M,D), AP cắt (O) tại Q khác A, BP cắt (O) tại R khác B, QR cắt CD tại E.  Gọi F là điểm đối xứng với P qua E.

a) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQF luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi P di chuyển.

b) Gỉa sử EA tiếp xúc (O). Chứng minh rằng khi đó QM vuông góc với CD

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AP và DP. Ta có :

IK song song và bằng 1/2 AD hay bằng 1/2 BC.

KM = DM - DK = DC/2 - DP / 2 = PC/2

Mà \(\widehat{IKM}=\widehat{ADC}=\widehat{BCP}\)

\(\Rightarrow\Delta IKM\sim\Delta BCP\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{BPC}=\widehat{IMP}\)

Mà \(\widehat{BPC}=\widehat{ABP}\) (AB // PC) ; \(\widehat{ABP}=\widehat{AQR}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AR)

Do đó \(\widehat{IME}=\widehat{IQE}\Rightarrow\) Tứ giác IMQE nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{EIQ}=\widehat{EMQ}\)

Mà IE // AF (Đường trung bình) nên \(\widehat{IEQ}=\widehat{FAQ}\)  (Đồng vị) 

\(\Rightarrow\widehat{FAQ}=\widehat{FMQ}\) hay tứ giác AMQF nội tiếp.

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác AQF đi qua A, M cố định.

Vậy tâm đường tròn thuộc đường trung trực của AM.

b) Ta có \(\widehat{EPR}=\widehat{BPC}=\widehat{ABP}=\widehat{AQE}\) nên \(\Delta EPR\sim\Delta EQP\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{EP}{EQ}=\frac{ER}{EP}\Rightarrow EP^2=ER.EQ\)

Vì AE là tiếp tuyến nên \(\widehat{EAR}=\widehat{AQE}\Rightarrow\Delta EAR\sim\Delta EQA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{EA}{EQ}=\frac{ER}{EA}\Rightarrow EA^2=EQ.ER\)

\(\Rightarrow EP^2=EA^2\Rightarrow EP=EA=EF\)

\(\Rightarrow\widehat{FAP}=90^o\Rightarrow\widehat{FMQ}=90^o\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung FQ)

\(\Rightarrow MQ\perp CD\)