cho 3 số thực dương thỏa mãn a+2b+3c >=20. Tìm gtnn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 11 2021
\(A=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}\\ A=\left(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}\right)+\left(\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{3c}{4}\right)\\ A=\left(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{3}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{9}{2b}\right)+\left(\dfrac{c}{4}+\dfrac{4}{c}\right)+\dfrac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\\ A\ge2\sqrt{\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{3}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{2}\cdot\dfrac{9}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{c}{4}\cdot\dfrac{4}{c}}+\dfrac{1}{4}\cdot20\\ A\ge3+3+2+5=13\\ A_{min}=13\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Đặt \(\left(a;2b;3c\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)
\(Q=\dfrac{x+1}{1+y^2}+\dfrac{y+1}{1+z^2}+\dfrac{z+1}{1+x^2}\)
Ta có:
\(\dfrac{x+1}{1+y^2}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{1+y^2}\ge x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y^2}{2y}=x+1-\dfrac{\left(x+1\right)y}{2}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y+1}{1+z^2}\ge y+1-\dfrac{\left(y+1\right)z}{2}\) ; \(\dfrac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\dfrac{\left(z+1\right)x}{2}\)
Cộng vế:
\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{2}+3-\dfrac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{3}{2}+3-\dfrac{9}{6}=3\)
\(Q_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}\right)\)
26 tháng 4 2017
Ta có:
\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3c}{4}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}.\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge3+3+2+\frac{20}{4}=13\)
Vậy GTNN của A là 13 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\\c=4\end{cases}}\)
15 tháng 9 2023
1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\) \(\left(a;b;c\in R\right)\)
Ta có :
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)
Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)
15 tháng 9 2023
\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)
\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)
- Với \(x>1;y>1\)
\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương
\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương
\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)
Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài
14 tháng 5 2021
Ta có: \(a+2b+3c=13\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)+2\left(b-1\right)+3\left(c-1\right)=7\)
Mà \(7^2=\left[\left(a-1\right)+2\left(b-1\right)+3\left(c-1\right)\right]^2\)
\(\le\left(1^2+2^2+3^2\right)\left[\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge\frac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a-1=\frac{b-1}{2}=\frac{c-1}{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=2\\c=\frac{5}{2}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2021
\(P=a^2-2a+b^2-2b+c^2-2c+3\)
\(P=\left(a^2+\dfrac{9}{4}\right)+\left(b^2+4\right)+\left(c^2+\dfrac{25}{4}\right)-2a-2b-2c-\dfrac{19}{2}\)
\(P\ge3a+4b+5c-2a-2b-2c-\dfrac{19}{2}\)
\(P\ge a+2b+3c-\dfrac{19}{2}=13-\dfrac{19}{2}=\dfrac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};2;\dfrac{5}{2}\right)\)
29 tháng 5 2019
Dặt x=a, y=2b,z=3c
Khi đó
\(P=\frac{yz}{\sqrt{x+yz}}+\frac{xz}{\sqrt{y+xz}}+\frac{xy}{\sqrt{z+xy}}\)và x+y+z=1
Ta có \(\frac{yz}{\sqrt{x+yz}}=\frac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\frac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}yz\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{xz}{x+y}+\frac{yz}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{y+z}+\frac{xz}{y+z}\right)+...=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MaxP=\frac{1}{2}\)khi x=y=z=1/3 hay \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{3}\\b=\frac{1}{6}\\c=\frac{1}{9}\end{cases}}\)
TT
1
ML
5 tháng 8 2015
\(A=\left(\frac{3}{a}+\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{9}{2b}+\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{4}{c}+\frac{c}{4}\right)+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{2b}.\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{4}{c}.\frac{c}{4}}+\frac{1}{4}.20\)
\(=3+3+2+5\)
\(=13\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2;\text{ }b=3;\text{ }c=4\)
Vậy GTNN của A là 13.
14 tháng 3 2021
Áp dụng bđt Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^4}{2ab+3ac}+\dfrac{b^4}{2cb+3ab}+\dfrac{c^4}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{5}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).