cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc=1.chứng minh rằng a²/b +b²/c +c²/a >=a/b +b/c +c/a
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 10 2019
Vì abc=1 nên có: \(a^3+b^3+c^3+3=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+3=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\)
\(\ge\frac{4a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4b^2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{4c^2}{\left(a+b\right)^2}+3\)(1)
Đặt: \(\frac{a}{b+c}=X;\frac{b}{c+a}=Y;\frac{c}{a+b}=Z\)
Ta có: \(4X^2+4Y^2+4Z^2+3-4X-4Y-4Z=\left(2X-1\right)^2+\left(2Y-1\right)^2+\left(2Z-1\right)^2\ge0\)
=> \(4Z^2+4Y^2+4Z^2+3\ge4X+4Y+4Z=4\left(X+Y+Z\right)\)
=> \(\frac{4a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4b^2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{4c^2}{\left(a+b\right)^2}+3\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
=> \(a^3+b^3+c^3+3\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
"=" xảy ra <=> a =b =c =1.\(\)
8 tháng 2 2019
\(\frac{a}{2b+a}+\frac{b}{2c+b}+\frac{c}{2a+c}=\frac{a^2}{2ab+a^2}+\frac{b^2}{2bc+b^2}+\frac{c^2}{2ca+c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+a^2+2bc+b^2+2ca+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NB
1
S
1 tháng 7 2018
Theo nguyên lý Dirichlet ta có mệnh đề trong ba số thực bất kì x,y,z luôn tìm được hai số có tích không âm
Áp dụng thì hai trong ba số a-1,b-1,c-1 có tích không âm
Giả sử (a-1)(b-1)≥0=>(c+1)/c=ab+1≥a+b (do abc = 1)
Ta có (ab- 1)²+(a-b)²≥0 (luôn đúng)
Từ đó 1/(1+a)² +1/(1+b)²≥1/(1+ab)=c/(c+1)
Do đó 1/(1+a)² +1/(1+b)² +1/(1+c)² +2/(1+a)(1+b)(1+c)
≥c/(c+1)+1/(c+1)²+2/(1+ab+a+b)(1+c)
=(c²+c+1)/(1+c)²+2/2*[(c+1)/c](c+1)
=(c²+c+1)/(1+c)²+c/(c+1)² =1
CH
1
S
1 tháng 7 2018
Theo nguyên lý Dirichlet ta có mệnh đề trong ba số thực bất kì x,y,z luôn tìm được hai số có tích không âm
Áp dụng thì hai trong ba số a-1,b-1,c-1 có tích không âm
Giả sử (a-1)(b-1)≥0=>(c+1)/c=ab+1≥a+b (do abc = 1)
Ta có (ab- 1)²+(a-b)²≥0 (luôn đúng)
Từ đó 1/(1+a)² +1/(1+b)²≥1/(1+ab)=c/(c+1)
Do đó 1/(1+a)² +1/(1+b)² +1/(1+c)² +2/(1+a)(1+b)(1+c)
≥c/(c+1)+1/(c+1)²+2/(1+ab+a+b)(1+c)
=(c²+c+1)/(1+c)²+2/2*[(c+1)/c](c+1)
=(c²+c+1)/(1+c)²+c/(c+1)² =1
IM
10 tháng 9 2016
Đề là
Cho \(a;b;c\ge0\) thỏa mãn a+b+c = 1
Cmr : \(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\ge\frac{2}{1+a}+\frac{2}{1+b}+\frac{2}{1+c}\) ak bạn
N
18 tháng 9 2016
Ta có:a+b+c=1
\(đpcm\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{2}{a+2b+c}+\frac{2}{2a+b+c}+\frac{2}{a+b+2c}\)(*)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\)(1)
Tương tự:\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{4}{a+b+2c}\)(2)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{4}{2a+b+c}\)(3)
Cộng theo từng vế của (1);(2);(3) ta đc:(*)(đpcm)
Dấu ''='' xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)