Question

[Nguyễn Quỳnh Hương]

Cho hình vuông ABCD lấy M thuộc KD.AM cắt BC tại E . Đường thẳng vuông góc AM tại A cắt CD tại N

a) CM : Tam giác AEN vuông cân

b) Gọi O là trung điểm của EN . CM : B,D,O thẳng hàng

c) CM  \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\)

d) CM : OA \(⊥\) NE

e) CM : \(\frac{1}{AD^2}\ge\frac{2}{AM\cdot AE}\)

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

đoán đề là M thuộc BD hoặc M thuộc CD, nhưng M thuộc cái nào thì giải vẫn vậy thôi, do câu e) có liên quan nên đến đấy mới xét M, nhưng vẽ hình là M thuộc CD cho dễ nhìn nhé 

a) Có: \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=90^0-\widehat{AEB}=90^0-\left(90^0-\widehat{EAB}\right)=\widehat{EAB}\)

Xét 2 tam giác vuông ADN và ABE có: AD=AB và ^NAD=^EAB => \(\Delta ADN=\Delta ABE\) (g-c-g) => \(AN=AE\)

Tam giác vuông AEN có AE=AN => AEN vuông cân tại A 

b) Hình chữ nhật ABCD có BD là đường chéo => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=45^0\)

Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ODN}\) ( đối đỉnh ) => \(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}=90^0\)\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}+\widehat{ADN}=180^0\)

=> B, D, O thẳng hàng 

c) Có: \(\Delta MDA~\Delta ADN\) ( do \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=\widehat{AMD}\) và \(\widehat{ADN}=\widehat{MDA}=90^0\) ) 

=> \(\frac{AD}{AM}=\frac{DN}{AN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB}{AM}=\frac{DN}{AE}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB^2}{AM^2}=\frac{DN^2}{AE^2}\)

=> \(\frac{AB^2}{AM^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2}{AE^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2+AD^2}{AE^2}=\frac{AN^2}{AE^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AB^2}\) ( đpcm ) 

d) Tam giác AEN vuông cân tại A nên có OA là đường trung tuyến nên OA cũng là đường cao => \(OA\perp NE\)

e) từ câu c) ta có: \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{AM^2.AE^2}}=\frac{2}{AM.AE}\)

Dấu "=" xảy ra khi M trùng với C(M thuộc CD) hoặc M là trung điểm của BD(M thuộc BD) (đã nói ở đầu bài)