Question

[Minh Phươngk9]

cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AB.Vẽ các tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB.Từ điểm M trên nửa đường tròn(M khác A,B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn,cắt Ax và By lần lượt tại C và D

a,CHứng minh tam giác COD đồng dạng tam giác AMB

b,Chứng minh MC.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn

c,Cho OC=BA=2R.Tính AC và BD theo R

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

DO đó: CM=CA  và OC là phân giác của góc AOM

=>C nằm trên đường trung trực của MA(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của MA(2)

từ (1) và (2) suy ra CO là đường trung trực của MA

OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

DM=DB

nên D nằm trên đường trung trực của BM(3)

OM=OB

=>O nằm trên đường trung trực của BM(4)

Từ (3) và (4) suy ra OD là là đường trung trực của BM

Ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét tứ giác OACM có

\(\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)

=>OACM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{OAM}=\widehat{OCM}\)

Xét ΔCOD vuông tại O và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{OCD}=\widehat{MAB}\)(cmt)

Do đó: ΔCOD đồng dạng với ΔAMB

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(MC\cdot MD=R^2\) không đổi khi M di chuyển trên (O)

c: AB=2R

=>OA=OB=AB/2=R

Ta có: ΔCAO vuông tại A

=>\(CA^2+AO^2=CO^2\)

=>\(CA^2+R^2=\left(2R\right)^2\)

=>\(CA^2=3R^2\)

=>\(CA=R\sqrt{3}\)

\(MC\cdot MD=R^2\)

mà MC=AC và DM=DB

nên \(AC\cdot BD=R^2\)

=>\(BD\cdot R\sqrt{3}=R^2\)

=>\(BD=\dfrac{R}{\sqrt{3}}\)