a) Chứng minh$\frac{1}{\left(n 1\right)\sqrt{n n\sqrt{n 1}}}$$=$$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-$$\frac{1}{\sqrt{n 1}}$( n$\in$z )b) TínhA=$\sqrt{4 \sqrt{10 2\sqrt{5}}}$\(\sqrt{4-\sqrt{10 2\s...

A.$\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}$ $=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)\left(n+1-n\right)}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}$

=$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

b. ap dungtinh B =$\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

Đúng(0)

CH

Chu Hiền

16 tháng 9 2020 - olm

a, Chứng minh

$\frac{1}{\left(n+1\right).\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

b, Áp dụng

$S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}......+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}$

#Toán lớp 9

4

NH

Ngô Hải Đăng

16 tháng 9 2020

a)$\frac{1}{\left(n+1\right).\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2.n-n^2\left(n+1\right)}$

$=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

b)$S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}$

$ S=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$

Đúng(0)

NP

Nguyễn Phương Uyên

16 tháng 9 2020

$a,\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}$

$=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$

$=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}\left(n+1-n\right)}$

$=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}$

$=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

b, $S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{400}}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$

Đúng(0)

CD

Châu Đặng Huỳnh Bảo

20 tháng 11 2015 - olm

a/Chứng minh rằng $\frac{2}{\left(2n+1\right)\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

b/Áp dụng chứng minh

$\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{7\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}+...+\frac{1}{4003\left(\sqrt{2001}+\sqrt{2002}\right)}<\frac{2001}{2003}$

#Toán lớp 9

0

HT

Hoa Trần Thị

31 tháng 10 2019

Chứng minh rằng $2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$ (với $n\in N^{\cdot}$)

Áp dụng cho S = $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$

Chứng minh 18<S<19 ?

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

31 tháng 10 2019

Lời giải:

Liên hợp ta thấy:

$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)$

$2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

------------------------

Áp dụng vào bài toán:

$S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})$

$\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)$

Và:

$S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})$

$\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)

Đúng(0)

NA

Nguyễn Anh Khoa

3 tháng 7 2016

a) Chứng minh: $2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$ (với n $\in$ N*)

b) Áp dụng cho S=$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$

Chứng minh 18<S<19

Giúp em với mấy anh chị ơiiiiiiiiiiii

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

31 tháng 10 2019

Bạn tham khảo lời giải tại link sau:

Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Đúng(0)

NP

Nguyễn Phương Thảo

22 tháng 2 2020 - olm

Chứng minh:

$\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(n\in N\right)$

#Toán lớp 9

1

S

ST

23 tháng 2 2020

Xét dạng tổng quát có: $\frac{1}{\sqrt{n+1}\left(n+1\right)+n\sqrt{n}}=\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}$

$=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left[n-\sqrt{n\left(n+1\right)}+n+1\right]}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)-\sqrt{n\left(n+1\right)}}$

$< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}-\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Áp dụng vào bài toán ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$

.....

$\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Cộng vế theo vế =>$VT< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(ĐPCM\right)$

Đúng(0)

TD

Tín Đinh

2 tháng 7 2017 - olm

Chứng minh: $\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{7\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}$$< \frac{1}{2}$

#Toán lớp 9

0