chung minh rang
3(a^4+b^4+c^4)>=(a+b+c)(a^3+b^3+c^4)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
1
TN
13 tháng 6 2016
Ta biến đổi 1 tí nhé
\(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
Tới đây dễ dàng áp dụng BĐT \(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{4}.\frac{1}{a}+\frac{3}{4}.\frac{1}{b}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{b+c}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{b}+\frac{1}{2}.\frac{1}{c}\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{a}+\frac{1}{4}.\frac{1}{c}\left(3\right)\)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra
\(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{c}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{a}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow Dpcm\)
TT
1
11 tháng 6 2016
Ta có: 3A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 +...+ 3^101
A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 +...+ 3^100
=> 3A - A = 3^101 - 3
=> 2A = 3^101 - 3
=> A = \(\frac{3^{101}-3}{2}\)
=> A = \(\frac{3^{101}-1}{2}-\frac{2}{2}=\left(3^{101}-1\right).\frac{1}{2}-1\)
=> A < B
DT
1
7 tháng 11 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)
Mà \(\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow VT=a^3+b^3\ge\dfrac{1}{4}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
G
1
ML
7 tháng 8 2015
Áp dụng Côsi:
\(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(a^4\right)^3}=4a^3\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-1\)
Ta chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)
Theo Côsi: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+2.4\ge3\left(a+b+c+d\right)=3.4\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-4\ge3\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3+b^3+c^3+d^3\)
LA
9 tháng 3 2018
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{\left(ab+ac\right)+\left(ba+bc\right)-\left(ca+cb\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)
Tương tự \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2bc}{5}\)
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2ac}{3}\)
Do đó \(\frac{2ab}{1}=\frac{2bc}{5}\Rightarrow\frac{a}{1}=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{c}{15}\)
\(\frac{2bc}{5}=\frac{2ac}{3}\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{a}{3}\)
Do vậy \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)
22 tháng 4 2022
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
ab+ac2=ba+bc3=ca+cb4=(ab+ac)+(ba+bc)−(ca+cb)2+3−4=2ab1ab+ac2=ba+bc3=ca+cb4=(ab+ac)+(ba+bc)−(ca+cb)2+3−4=2ab1
Tương tự ab+ac2=bc+ba3=ca+cb4=2bc5ab+ac2=bc+ba3=ca+cb4=2bc5
ab+ac2=ba+bc3=ca+cb4=2ac3ab+ac2=ba+bc3=ca+cb4=2ac3
Do đó 2ab1=2bc5⇒a1=c5⇒a3=c152ab1=2bc5⇒a1=c5⇒a3=c15
2bc5=2ac3⇒b5=a32bc5=2ac3⇒b5=a3
Do vậy a3=b5=c15
M
1
S
9 tháng 12 2018
a+b+c=0 <=> (a+b+c)2=0
<=>a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0
<=>a2+b2+c2=-2(ab+bc+ca)
<=>(a2+b2+c2)2=[-2(ab+bc+ca)]2
<=>a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4(a2b2+b2c2+c2a2)
<=>a4+b4+c4=2(a2b2+b2c2+c2a2) (1)
Lại có (ab+bc+ca)2 = a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c) = a2b2+b2c2+c2a2 (vì a+b+c=0) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm