Question

[Thầy Cao Đô]

Bài 3. (3 điểm) Cho $\Delta DEF$ vuông tại $D$ có $DE>DF\,.$$DM$ là đường trung tuyến. Gọi $MN$ là đường vuông góc kẻ từ$M$ đến $DE\,,$$MK$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $DF\,.$ Trên tia $MN$ lấy $H$ sao cho $N$ là trung điểm của $MH\,.$

a) Tứ giác $DKMN$ là hình gì?

b) Gọi $O$ là trung điểm của $DM\,.$ Chứng minh ba điểm $H,\,\,O,\,\,F$ thẳng hàng.

c) $\Delta DEF$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $DKMN$ là hình vuông.

Answer 1

[Phương Thảo Nguyễn]

a) Tứ giác $DKMN$ có $\hat{D}=\hat{K}=\hat{N}={90}^{\circ }$ nên là hình chữ nhật.

b) Vì $DKMN$ là hình chữ nhật nên $DF$ // $MH$.

Xét $\Delta KFM$ và $\Delta NME$ có:

     $\hat{K}=\hat{N}={90}^{\circ }$

     $FM=ME$ (giả thiết)

     $\widehat{KMF}=\hat{E}$ (đồng vị)

Suy ra $\Delta KFM=\Delta NME$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra $KF=MN$ (hai cạnh tương ứng) mà $MN=DK$ nên $DF=2DK$ và $MH=2MN$.

Do đó $DF=MH$.

Tứ giác $DFMH$ có $DF$ // $MH,$DF=MH$ nên là hình bình hành.

Nên hai đường chéo $DM,FH$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường hay $F,O,H$ thẳng hàng.

c) Để hình chữ nhật $DKMN$ là hình vuông thì $DK=DN$ $\left(1\right)$

Mà $DK=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DF$ và $DN=KM=NE$ nên $DN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $DF=DE$ nên $\Delta DFE$ cân tại $D$.