Cho 2 điểm phân biệt A và B
a) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \)
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = 4\overrightarrow {MO} \)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
a)
Cách 1:
Ta có: \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA} = - 2\overrightarrow {KB} \)
Suy ra vecto \(\overrightarrow {KA} \) và vecto\(\;\overrightarrow {KB} \) cùng phương, ngược chiều và \(KA = 2.KB\)
\( \Rightarrow K,A,B\)thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: \(KA = 2.KB\)
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {BA} } \right) + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {KB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}\)
Vậy K thuộc đoạn AB sao cho \(KB = \frac{1}{3}AB\).
b)
Với O bất kì, ta có:
\(\frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KB} } \right) = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {OK} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {KA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK}\)
Vì \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \)
Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)
24 tháng 9 2023
Tham khảo:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC\)
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \)
Với mọi điểm O, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} ;\;\\\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} ;\;\,\\\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)
Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).
24 tháng 9 2023
Tham khảo cách 2 câu a:
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} } \right) + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \end{array}\)
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.
Khi đó: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CD} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CO} \)
Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.
Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
Cách 1:
\(\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - 4\overrightarrow {MB} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = \frac{{\left| { - 4\overrightarrow {MB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = 4\) và hai vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng
Suy ra M nằm giữa AB sao cho \(\frac{{MA}}{{MB}} = 4\)
Cách 2:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow 5\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB}
\end{array}\)
Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho \(MB = \frac{1}{5}AB\)
BT
16 tháng 5 2017
a) Giả sử điểm I thỏa mãn:
\(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\).
Xác định véc tơ: \(\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\).
Dựng điểm B' sao cho \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB'}\).
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB'}=\overrightarrow{AB'}\).
\(\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{AB'}}{2}\).
Dựng điểm I sao cho \(\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}=\overrightarrow{AK}\) (K là trung điểm của AB').
BT
16 tháng 5 2017
b) Tìm điểm I sao cho: \(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\) và chứng mịn điểm I cố định.
Có: \(\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{CI}\)
\(=\left(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IB}\right)+2\overrightarrow{IB}\)
\(=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{IB}\).
Suy ra: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\)
Vậy điểm I xác định sao cho \(\overrightarrow{IB}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}\) .
Do A, B, C cố định nên tồn tại một điểm I duy nhất.
Theo giả thiết:
Có \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\)\(=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)-2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{MI}\) (Do các xác định điểm I).
Vì vậy \(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MI}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MI}\) cùng hướng.
Suy ra 3 điểm M, N, I thẳng hàng hay MN luôn đi qua điểm cố định I.
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} \); \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} \); \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\end{array}\)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} + \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \end{array}\)
20 tháng 12 2022
a: vecto AB+2vecto BM=vecto 0
=>vecto AB=-2 vecto BM=-2 vecto MB
=>vecto BA=2 vecto BM
=>M là trung điểm của AB
b: =>2 vecto NA=3 vecto NB
=>vecto NA=3/2 vecto NB
=>NA=3/2NB và N nằm giữa A và B
BT
17 tháng 5 2017
a)
Có: \(3\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=3\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\right)-\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)\)
\(=2\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\)\(=2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{OM}\). (Đpcm).
b)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh G cũng là trọng tâm tam giác MNP.
Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{0}\).
Thật vậy \(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AP}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\)
\(=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)
\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\).
Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNP. (Đpcm).
a) \(\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {BA} \\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}
\end{array}\)
Vậy O thuộc đoạn AB sao cho \(OB = \frac{1}{4}AB\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {MO} + 3\overrightarrow {MO} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right)\\
= 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} . (đpcm)
\end{array}\)