Trong Hình 7, biết \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{MN}}{{AB}}\), hai đường cao tương ứng là \(MK\) và \(AH\).a) Chứng minh rằng \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\)và \(\frac{{MK}}{{AH}} = k\).b) Gọi \({S_1}\) là diện tích tam giác \(MNP\) và \({S_2}\) là diện tích tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} =...
Đọc tiếp
Trong Hình 7, biết \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{MN}}{{AB}}\), hai đường cao tương ứng là \(MK\) và \(AH\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\)và \(\frac{{MK}}{{AH}} = k\).
b) Gọi \({S_1}\) là diện tích tam giác \(MNP\) và \({S_2}\) là diện tích tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = {k^2}\).
a) Vì tam giác \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) nên \(\widehat B = \widehat N\) (hai góc tương ứng).
Vì \(MK\) là đường cao nên \(\widehat {MKN} = 90^\circ \);Vì \(AH\) là đường cao nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)
Xét \(\Delta MNK\) và \(\Delta ABH\) có:
\(\widehat B = \widehat N\) (chứng minh trên)
\(\widehat {MKN} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)
Do đó, \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\) (g.g)
Vì \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\) nên ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NK}}{{BH}} = \frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow \frac{{MK}}{{AH}} = k\).
b) Vì \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) nên \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = k\)
\( \Rightarrow \frac{{NP}}{{BC}} = k \Leftrightarrow NP = kBC\)
Vì \(\frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow MK = kAH\)
Diện tích tam giác \(MNP\) là:
\({S_1} = \frac{1}{2}.MK.NP\) (đvdt)
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\({S_2} = \frac{1}{2}.AH.BC\) (đvdt)
Ta có: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}.MK.NP}}{{\frac{1}{2}.AH.BC}} = \frac{{kAH.kBC}}{{AH.BC}} = {k^2}\) (điều phải chứng minh)