Cho x+y=2. Chứng minh rằng: \(x^{2011}+y^{2011}\le x^{2012}+y^{2012}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TG
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(2011.x^{2012}+1\ge2012.x^{2011}\) ; \(2011y^{2012}+1\ge2012x^{2011}\)
\(\Rightarrow2011\left(x^{2012}+y^{2012}\right)\ge2011\left(x^{2011}+y^{2011}\right)+x^{2011}+y^{2011}-2\)
Mặt khác \(x^{2011}+2010\ge2011x\) ; \(y^{2011}+2010\ge2011y\)
\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}\ge2011\left(x+y\right)-2010.2=2\)
\(\Rightarrow2011\left(x^{2012}+y^{2012}\right)\ge2011\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\)
\(\Rightarrow x^{2012}+y^{2012}\ge x^{2011}+y^{2011}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
TT
1 tháng 9 2020
Đặt \(\frac{x}{2011}=\frac{y}{2012}=\frac{z}{2013}=k\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2011k\\y=2012k\\z=2013k\end{cases}}\)
+) Ta có : \(\frac{2012z-2013y}{2011}=\frac{2012.2013k-2013.2012k}{2011}=0\)
\(\frac{2013x-2011z}{2012}=\frac{2013.2011k-2011.2013k}{2012}=0\)
\(\frac{2011y-2012x}{2013}=\frac{2011.2012k-2012.2011k}{2013}=0\)
Do đó : \(\frac{2012z-2013y}{2011}=\frac{2013x-2011z}{2012}=\frac{2011y-2012x}{2013}\left(=0\right)\) ( đpcm )
1 tháng 7 2017
Giả sử z là số lớn nhất trong 3 số
Từ đề bài ta có:
\(\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2012}-\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2013}-\sqrt{y+2012}=\sqrt{z+2012}-\sqrt{z+2011}+\sqrt{z+2013}-\sqrt{z+2012}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}=\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}+\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\)
Ta lại có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}\\\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z
Tương tự cho trường hợp x lớn nhất với y lớn nhất.
5 tháng 7 2017
fdy 'rshniytguo;yhuyt65edip;ioy86fo87ogtb eubuiltgr6sdwjhytguyh8 ban oi bai nay mac kho giai vao cut sit
TT
23 tháng 4 2020
b)Thay x=1;y=1 vào biểu thức trên ta có:
3.1.1- 4.1.1+ 10.1.1- 1.1
=3-4+10-1
=(-1)+10-1
=9-1
=8
Vậy giá trị của biểu thức là:8
a) Thay x=1 vảo biểu thức trên ta có:
1^2- 5.1^2+ 11.1^2
=1-5.1+11.1
=1-5+11
=(-4)+11
=7
Vậy giá trị của biểu thức là: 7
c/ x^2011*y^2012+ 5x^2011*y^2012- 3x^2011*y^2012
b/ 3xy- 4xy+ 10xy- xy
b/ 3xy- 4xy+ 10xy- xy
TT
23 tháng 4 2020
a) Thay x=1 vảo biểu thức trên ta có:
1^2-5.1^2+11.1^2
=1-5.1+11.1
=1-5+11
=(-4)+11
=7
NM
0
NN
20 tháng 4 2017
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x+2011\\b=y+2011\\c=z+2011\end{cases}}\) Ta có Hệ:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}\left(A\right)=\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}\left(B\right)\\\sqrt{b}+\sqrt{c+1}+\sqrt{a+2}\left(B\right)=\sqrt{c}+\sqrt{a+1}+\sqrt{b+2}\left(C\right)\end{cases}}\)
Vai trò \(x,y,z\) bình đẳng
Giả sử \(c=Max\left(a;b;c\right)\) vì \(A=C\) ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+2}=\sqrt{c}+\sqrt{a+1}+\sqrt{b+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)+\left(\sqrt{b+2}-\sqrt{b+1}\right)\)
\(=\sqrt{c+2}-\sqrt{c}=\left(\sqrt{c+2}-\sqrt{c+1}\right)+\left(\sqrt{c+1}-\sqrt{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b+2}+\sqrt{b+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\left(1\right)\)
Mặt khác \(\hept{\begin{cases}c\ge a\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}\le\frac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\\c\ge b\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{b+2}+\sqrt{b+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c+2}+\sqrt{c+1}}\end{cases}}\)
Suy ra \(\left(1\right)\) xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\) (Đpcm)
20 tháng 8 2017
x2+y2+z2= xy+yz+zx.
=> 2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0
=> ( x-y)2+(y-z.)2+(z-x)2 =0
=> x=y=z=0
Thay x=y=z vào x2011+y2011+z2011=32012 ta được:
3.x2011=3.32011
=> x2011=32011
=> x=3 hoặc x = -3
Hay x=y=z=3 hoặc x=y=z=-3
20 tháng 8 2017
1) có bn giải rồi ko giải nữa
2) \(A=\frac{\left(1^4+\frac{1}{4}\right)\left(3^4+\frac{1}{4}\right)\left(5^4+\frac{1}{4}\right)....\left(2011^4+\frac{1}{4}\right)}{\left(2^4+\frac{1}{4}\right)\left(4^4+\frac{1}{4}\right)\left(6^4+\frac{1}{4}\right)....\left(2012^4+\frac{1}{4}\right)}\)
Với mọi n thuộc N ta có :
\(n^4+\frac{1}{4}=\left(n^4+2.\frac{1}{2}.n^2+\frac{1}{4}\right)-n^2=\left(n^2+\frac{1}{2}\right)^2-n^2=\left(n^2-n+\frac{1}{2}\right)\left(n^2+n+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\left[n\left(n-1\right)+\frac{1}{2}\right]\left[n\left(n+1\right)+\frac{1}{2}\right]\)
Áp dụng ta được :
\(A=\frac{\frac{1}{2}\left(1.2+\frac{1}{2}\right)\left(2.3+\frac{1}{2}\right)\left(3.4+\frac{1}{2}\right)....\left(2011.2012+\frac{1}{2}\right)}{\left(1.2+\frac{1}{2}\right)\left(2.3+\frac{1}{2}\right)\left(3.4+\frac{1}{2}\right).......\left(2012.2013+\frac{1}{2}\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}}{2012.2013+\frac{1}{2}}=\frac{1}{8100313}\)
Xét \(\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\)
\(=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\)
\(=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\) (do \(x-1=1-y\))
\(\Leftrightarrow\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\)
+ Giả sử \(x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}\) và \(x\ge1\ge y\)
Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)
+ Tương tự nếu \(y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}\) và \(y\ge1\ge x\)
Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Xét \left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)(x2012+y2012)−(x2011+y2011)
=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)=x2011(x−1)+y2011(y−1)
=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)=x2011(1−y)+y2011(y−1) (do x-1=1-yx−1=1−y)
\Leftrightarrow\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)⇔(x2012+y2012)−(x2011+y2011)=(1−y)(x2011−y2011)
+ Giả sử x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}x≥y⇒x2011≥y2011 và x\ge1\ge yx≥1≥y
Do đó \left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0(1−y)(x2011−y2011)≥0 (Đpcm)
+ Tương tự nếu y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}y≥x⇒y2011≥x2011 và y\ge1\ge xy≥1≥x
Do đó \left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0(1−y)(x2011−y2011)≥0 (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1x=y=1