cho x,y dương, tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{2015\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}\)+ \(\frac{2016\left(x+y\right)^2}{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 10 2016
\(P=\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
Ta có : \(\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=4\) (áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\))
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge2\)(Suy ra từ \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\))
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
Vậy MIN P = 6
24 tháng 2 2018
dự đoán của chúa Pain x=y=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y+1\right)^2.\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=2.\)
dấu = xảy ra khi
\(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\) :)
PT
18 tháng 5 2016
Ta có :
\(P=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\) (1)
Do : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\), nên từ (1) ta có :
\(P\ge\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\)
\(P\ge\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{z^2}{2}+\frac{1}{z}\right)\) (2)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{t};t>0\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=t-\frac{1}{t^2}=\frac{t^3-1}{t^2}\)
Lập bảng biến thiên sau :
Từ đó suy ra :
\(f\left(t\right)\ge\frac{3}{2}\) với mọi \(t>0\)
Vì lẽ đó từ (2) ta có : \(P\ge3.\frac{3}{2}\) với mọi \(x,y,z>0\)
Mặt khác khi \(x=y=z\) thì \(P=\frac{9}{2}\) vậy Min \(P=\frac{9}{2}\)
HP
22 tháng 5 2017
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8