Cho \(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}=120^0\), AD là phân giác. Chứng minh: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
20 tháng 4 2019
Từ D kẻ DH // AC
Do DH // AC : \(\Rightarrow\) \(\widehat{D_1}=\widehat{A_2}=60^0\)
Vì AD là đường phân giác \(\widehat{BAC}\):
\(\Rightarrow\)\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=60^0\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{D_1}=\widehat{A_1}=60^0\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AH\text{D}\) là tam giác đều
\(\Rightarrow\)\(AH=H\text{D}=A\text{D}\)
Do DH // AH :
\(\Rightarrow\)\(\frac{BH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(\frac{AB-AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(\frac{AB}{AB}-\frac{AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(1-\frac{AH}{AB}=\frac{H\text{D}}{AC}\)
\(1=\frac{H\text{D}}{AC}+\frac{AH}{AB}\)
\(1=\frac{A\text{D}}{AC}+\frac{A\text{D}}{AB}\) ( VÌ AH = HD = AD )
\(1=A\text{D}.\left(\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}\right)\)
\(\frac{1}{A\text{D}}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{A\text{D}}\)( ĐPCM )
23 tháng 5 2016
1) Gọi AE là tia phân giác góc ngoài của tam giác tại A (E thuộc BC)
Ta có : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=S_{ABD}+S_{ACĐ}=\frac{1}{2}AB.AD.sin45+\frac{1}{2}AC.AD.sin45\)
\(\Rightarrow AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(AB+AC\right).AD\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)
16 tháng 3 2022
ta có AD là phân giác góc BAC thì \(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}=\frac{60^0}{2}=30^0\)
hình vẽ ko đc đẹp thông cảm
ta kẻ \(DE\\ AB;E\in AC\)
\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{DE}{AB}\)(hệ quả của đlý Talets nhé)
\(DE\\ AB\Rightarrow\widehat{AED}=180^0-\widehat{BAC}=180^0-60^0=120^0\)
TỪ ĐÓ TA TÍNH ĐC GÓC EAD=300 \(\Rightarrow\Delta AED\)cân tại E
\(\Rightarrow AE=ED\)
\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{AE}{AB}\)(thay vào cái tỉ số ở trên nhé)
\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=\frac{AC-AE}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{EC}{AC}=1-\frac{AE}{AC}\)(1)
ta kẻ:\(EH\perp AD\left(H\in AD\right)\)từ đó EH sẽ là đường cao của tam giác AED cân tại E
\(\Rightarrow AH=HE\)
(TC)
\(\Delta AHE\) VUÔNG TẠI H,theo định lý Pytago TA CÓ:
\(AH^2+HE^2=AE^2\)
TA có tính chất sau:trong tam giác vuông có 1 góc bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền
\(\Rightarrow AE=2HE\)(áp dụng vào tam giác AHE)
\(\Rightarrow AH^2+HE^2=4HE^2\)
\(\Rightarrow AH^2=3HE^2\)
MÀ \(AH+HE=AD;AH=AE\Rightarrow2AH=AD\Rightarrow4AH^2=AD^2\)
\(\Rightarrow4.AH^2=12HE^2\Rightarrow AD^2=3.\left(4.HE^2\right)\)
\(\Rightarrow AD^2=3.AE^2\)(DO HE=2AE)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{3}AE\)(do cạnh của tam giác luôn lớn hơn 0)
ta thày vào (1),có:
\(\frac{AE}{AB}=1-\frac{AE}{AC}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}AE}{AB}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}AE}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\sqrt{3}-\frac{AD}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow AD.\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{AD}\)(ĐPCM)
+ qua B,C dựng lần lượt các đường thẳng song song với AC,AB lần lượt cắt AD tại E,F
- vì AC//BE áp dụng hệ quả định lí Talet ta có
DB/DC = DE/DA
áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có
(DB + DC)/DC = (DE + DA)/DA hay BC/DC = AE/AD = AB/AD (tam giác ABE đều)
hay BC/DC = AB/AD hay DC/BC = AD/AB (1)
- tương tự AB//CF ta cũng có
DB/DC = AD/DF
=>DB/(DC + DB) = AD/(AD + DF) hay DB/BC = AD/AF = AD/AC (tam giác AFC đều)
hay DB/BC = AD/AC (2)
- cộng (1) và (2) vế với vế ta có
DC/BC +DB/BC = AD/AB + AD/AC
hay
BC/BC = AD(1/AB + 1/AC)
hay 1/AD = 1/AB + 1/AC .
Giải:
Qua \(B,C\)dựng lần lượt các đường thẳng song song với \(AC,AB\)lần lượt cắt \(AD\)tại \(E,F\)
Vì AC//BE áp dụng hệ quả định lí Talet ta có:
\(\frac{DB}{DC}=\frac{DE}{DA}\)
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:
\(\frac{DB+DC}{DC}=\frac{DE+DA}{DA}\)hay \(\frac{BC}{DC}=\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AD}\)(tam giác \(ABE\)đều)
Hay \(\frac{BC}{DC}=\frac{AB}{AD}\)hay \(\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AB}\left(1\right)\)
Tương tự: AB//CF ta cũng có:
\(\frac{DB}{DC}=\frac{AD}{DF}\)
\(\Rightarrow\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AD}{AD+DF}\)hay \(\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AF}=\frac{AD}{AC}\)(tam giác \(AFC\)đều)
Hay \(\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AC}\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) vế với vế ta có:
\(\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}=\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}\)
Hay \(\frac{BC}{BC}=AD\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)\)
Hay \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}\)