Chứng minh rằng $a^2+b^2+1011> ab+a+b$ với mọi $a,b$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 3 2018
a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)
\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)
b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)
NN
0
30 tháng 3 2021
a2 + b2 + 3 > ab + a + b
<=> 2a2 + 2b2 + 6 > 2ab + 2a + 2b
<=> 2a2 + 2b2 + 6 - 2ab - 2a - 2b > 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) + 4 > 0
<=> ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 + 4 > 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
30 tháng 3 2021
quãng đường từ nhà Giang đến chợ huyện gồm một đoạn lên dốc .Giang đi từ nhà đến chợ huyện hết 2h 45 phút.Vận tốc khi lên dốc là 8 km/giờ,vận tốc khi xuống dốc là 12km/giờ.Thời gian khi lên dốc hơn thời gian khi xuống dốc là 0,25 giờ.Tính quãng đường từ nhà Giag đến chợ huyện
PT
1
DL
5 tháng 5 2018
ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) với mọi a, b, c
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
27 tháng 6 2016
câu 1 :a2+ab+ b2/4 +3b2/4=(a+b/2)2 +3b2/2 tong 2 binh phương luôn >=0 dau bang khi ca hai số đó bằng 0. a=0 và b=0
câu 2: a2-ab+ b2/4 +3b2/4=(a-b/2)2 +3b2/2 .a=0 và b=0
NT
2
VL
30 tháng 3 2015
nhân 2 vào 2 vế rồi chuyển vế sau đó khai triển ta được (a-b)(b-c)(c-a) >=0
luôn đúng với mọi a;b;c
suy ra ĐPCM
30 tháng 3 2015
ta có \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(\(\Rightarrow\)a=b=c)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 6 2019
Ta chứng minh: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thực vậy, BĐT tương đương:
\(a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng với a; b dương)
Vậy BĐT được chứng minh
Tương tự ta có: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\); \(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Lời giải:
$a^2+b^2+1011-(ab+a+b)=\frac{2a^2+2b^2+2022-2ab-2a-2b}{2}$
$=\frac{(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+2020}{2}$
$=\frac{(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2+2020}{2}$
$\geq \frac{2020}{2}>0$
$\Rightarrow a^2+b^2+1011> ab+a+b$
Ta có đpcm.