chờ a, b, c là các số thực dương. tìm giá trị nhỏ nhất củ biểu thức P=\(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VV
20 tháng 11 2017
vì a,b,c dương => a+b khác 0
b+c khác 0
a+c khác 0
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(E=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\)
vậy E = \(\frac{1}{2}\)
9 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\)
Tương tự ta có: \(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b;\) \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế thì được:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\).
Vậy \(Min\) \(E=\frac{3}{2}\). Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c.
31 tháng 5 2021
\(P=\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c}{4a}\)
\(P=\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)}+\frac{c}{4a}\)
Ta đặt \(\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y\Rightarrow\frac{c}{a}=xy\)
\(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{xy}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)
Thật vậy, bđt trên tương đương với:
\(\left(xy+1\right)\left[\left(1+x\right)^2+\left(1+y\right)^2\right]\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+1\right)\left(x^2+y^2+2x+2y+2\right)\ge\left(x^2+2x+1\right)\left(y^2+2y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2x-x^2y^2-2xy+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\)luôn đúng
Suy ra: \(P\ge\frac{1}{xy+1}+\frac{xy}{4}=\frac{1}{xy+1}+\frac{xy+1}{4}-\frac{1}{4}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{xy+1}\frac{xy+1}{4}}-\frac{1}{4}\left(AM-GM\right)\)
\(=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
13 tháng 4 2020
Ta có :
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x+y}{xy}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT trên ta có :
\(A=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\frac{c}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(+\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi a=b=c
13 tháng 4 2020
Ta có: \(A=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\)
\(=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\frac{c}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Vậy max A = 3/4 đạt tại a= b = c .
20 tháng 11 2019
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
T
20 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Đầu tiền dùng AM-GM cm tổng 3 phân thức đầu >= 6
tổng 3 phân thức còn lại >= 3/2(bđt nesbit) .vậy là xong