chứng minh đẳng thức: (x+y+z)^2 - x^2 - y^2 - z^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
30 tháng 7 2021
\(VT=3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2-x^2+2xy-y^2-y^2+2yz-z^2-z^2+2xz-x^2=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=\left(x+y+z\right)^2\)* luôn đúng *
Vậ ta có đpcm
TA
0
LD
2
10 tháng 5 2018
\(x^2+y^2>=2xy\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}< =\frac{x}{2xy}=\frac{1}{2y}\)(1)
\(y^2+z^2>=2yz\Rightarrow\frac{y}{y^2+z^2}< =\frac{y}{2yz}=\frac{1}{2z}\)(2)
\(x^2+z^2>=2xz\Rightarrow\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{z}{2xz}=\frac{1}{2x}\)(3)
từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{y^2+z^2}+\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)(đpcm)
TT
1
27 tháng 6 2023
Sửa đề: (x+y)(x+y+2)-2(x+1)(y+1)+2-x^2-y^2
=(x+y)^2+2(x+y)-x^2-y^2-2(xy+x+y+1)+2
=2xy+2(x+y)-2xy-2x-2y-2+2
=2(x+y)-2(x+y)-2+2
=0
=>Đẳng thức được chứng minh
NH
1
NH
0
23 tháng 10 2021
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được
\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)
Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng
Vậy ta được đpcm
LC
2
20 tháng 8 2017
BĐVT ta đc:\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-2\left(x-1\right)\left(y+1\right)+2\)
\(=x^2+2xy+y^2+xz+yz-\left[\left(2x-1\right)\left(y+1\right)\right]\)
\(=x^2+2xy+y^2+xz+yz-\left(2xy+2x-y-1\right)\)
\(=x^2+y^2+2xy+xz+yz-2xy-2x+y+1\)
Đề sai hả bn