Question

[Khôi Võ]

1/ chứng tỏ rằng : S= 1+ 1/1! +1/2! + 1/3!+...+ 1/2001! < 3

3/ TÌM CÁC SỐ TỰ NHIÊN A, B, C # 0 , SAO CHO:    1/A + 1/B + 1/C  =  4/5

4/ TÌM CÁC CHỮ SỐ A, B, C ĐỂ :

A/ 36/AB = A+ B  ( AB LÀ SỐ CÓ 2 CHỮ SỐ)

B/ 1000/A+B+C = ABC ( ABC LÀ SỐ CÓ 3 CHỮ SỐ )

5/ CHO PHÂN SỐ A+B/C+D VỚI A,B,C,D THUỘC Z⁺. BIẾT RẰNG TỬ VÀ MẪU  CỦA PHÂN SỐ CÙNG CHIA HẾT CHO K ( K THUỘC N*. CHỨNG TỎ RẰNG : (AD-BC) CHIA HẾT CHO K

6/TÌM NĂM SỐ NGUYÊN SAO CHO MỖI SỐ TRONG CÁC SỐ ĐÓ ĐỀU BẰNG BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG 4 SỐ CÒN LẠI.

7/TIM X,Y BIẾT: (  XX + YY ) . XY = 1980 ( XX, YY LÀ SỐ CÓ 2 CHỮ SỐ )

8 / TÌM UCLN CỦA SỐ 11111111 VÀ 11...11( 1994 SỐ 1)

Answer 1

[Le Thi Khanh Huyen]

Ta có:

\(S=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{2001!}\)

\(=2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2001!}\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3!}<\frac{1}{2.3}\)

\(...\)

\(\frac{1}{2001!}<\frac{1}{2000.2001}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2001!}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2000.2001}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2001!}<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2001!}<1-\frac{1}{2001}=\frac{2000}{2001}<1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2001!}<1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2001!}\right)+2<1+2\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{2001!}<3\)