Question

[JOKER_Mizukage Đệ tứ]

Tìm số tự nhiên n sao cho 3ⁿ+19 là số chính phương.

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

Bài nè không bít có được vào CÂU HỎI HAY của OLM không?

1./ Dễ thấy: \(A=3^n+19\)là 1 số chẵn. Nên để A là số chính phương thì A phải chia hết cho 4.

19 chia 4 dư 3 => \(3^n\)chia 4 dư 1 (1)

• Nếu n lẻ = 2i + 1 thì: \(3^{2i+1}=3\cdot\left(3^2\right)^i=3\cdot\left(8+1\right)^i\)chia 4 dư 3 trái với khẳng định (1)
• Vậy n chẵn và có dạng n = 2k.

2./ Bài toán trở thành tìm k để: \(A=3^{2k}+19\)là số chính phương.

Viết lại A ở dạng: \(A=\left(3^k\right)^2+19\)

• k = 0 => A = 20 không phải là số chính phương
• k = 1 => A = 28 không phải là số chính phương
• k = 2 => A = 100 là số chính phương 10²
• k >= 3 thì:

\(\left(3^k\right)^2< \left(3^k\right)^2+19=A< \left(3^k\right)^2+2\cdot3^k+1=\left(3^k+1\right)^2\)

A kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp 3^k và 3^k + 1 nên A không phải là số chính phương.

3./ Kết luận, với duy nhất n = 2k = 4 thì 3ⁿ + 19 là số chính phương.