Bài 6: Chứng tỏ rằng
D= \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{10^2}\)<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 6 2018
Bài 1 :
Ta có;\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{30}>\frac{1}{30}.10=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{60}>\frac{1}{60}.30>\frac{1}{30}.24=\frac{2}{5}\)
Do đó :
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{60}>\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{11}{15}\left(1\right)\)
Mặt khác :
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{40}< \frac{1}{20}.20=1\)
\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{60}< \frac{1}{40}.20=\frac{1}{2}\)
Do đó :
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{60}< 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Từ (1 ) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
Bài 2 :
Đặt \(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{63}\)
MỘT MẶT ,TA CÓ THỂ VIẾT
\(S=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)\)\(+\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+...+\frac{1}{32}\right)\)\(+\left(\frac{1}{33}+\frac{1}{34}+...+\frac{1}{63}+\frac{1}{64}\right)-\frac{1}{64}\)
\(>\frac{1}{2}.2+\frac{1}{4}.2+\frac{1}{8}.4+\frac{1}{16}.8+\frac{1}{32}.16+\frac{1}{64}.32-\frac{1}{64}\)\(=\frac{7}{2}-\frac{1}{64}=\frac{223}{64}>\frac{192}{64}=3\left(1\right)\)
Mặt khác ,ta lại có\(S=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)\)\(+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{15}\right)+\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+...+\frac{1}{31}\right)\)\(+\left(\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{63}\right)< \)\(1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{4}.4+\frac{1}{8}.8+\frac{1}{16}.16+\frac{1}{32}.32=6\left(2\right)\)
Từ (1) và (2 ) ta kết luận \(3< S< 6\)
Chúc bạn học tốt ( -_- )
KH
1
DL
9 tháng 5 2017
Bài này nhiều người đăng lắm,bạn vào câu hỏi tương tự
Đặt B=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{10^2}\)
Đặt A =\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{9\cdot10}\)
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{3\cdot2}\)
...
\(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(A=1-\frac{1}{10}< 1\)
\(\Rightarrow B< A< 1\left(đpcm\right)\)
NT
3
10 tháng 5 2017
Đặt A=đã cho.
Ta thấy:
1/2^2<1/1*2(vì 2^2>1*2).
1/3^2<1/2*3(vì 3^2>2*3).
...
1/10^2<1/9*10(vì 10^2>9*10).
=>A<1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/9*10.
=>A<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/9-1/10.
=>A<1-1/10.
=>A<9/10.
Mà 9/10<1.
=>A<1.
Vậy A<1(đpcm).
29 tháng 3 2019
a) \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}:x=\frac{5}{8}\)
\(\frac{3}{4}:x=\frac{3}{8}\)
\(x=2\)
vậy x=2
b) \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{2}{x.\left(x+1\right)}=\frac{2000}{2002}\)
\(\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+...+\frac{2}{x.\left(x+1\right)}=\frac{2000}{2002}\)
\(2.\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x.\left(x+1\right)}\right)=\frac{2000}{2002}\)
\(2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{2000}{2002}\)
\(2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{2000}{2002}\)
\(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}=\frac{1000}{2002}\)
\(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2002}\)
\(x+1=2002\)
\(x=2001\)
vậy x=2001
VP
2
22 tháng 3 2018
Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
....
\(\frac{1}{10^2}\)< \(\frac{1}{9.10}\)
=> \(\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{10^2}\)< \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.....+\frac{1}{9.10}\)
=> \(\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{10^2}\)< \(\frac{9}{10}\)< 1
=> \(\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{10^2}\)< 1 ( dpcm )
PL
1
8 tháng 8 2017
\(D< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.....+\frac{1}{9.10}.\)
\(D< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-....+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(D< 1-\frac{1}{10}\)
\(D< \frac{9}{10}\)
\(\frac{9}{10}< 1\Rightarrow D< 1\)
AK
12 tháng 4 2018
Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{8^2}< \frac{1}{7.8}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{8^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{7.8}\)
\(\Rightarrow B< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow B< 1-\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow B< \frac{7}{8}\)
\(\Rightarrow B< \frac{8}{8}=1\)
Vậy \(B< 1\left(Đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
12 tháng 4 2018
nhan xet1/2^2<1/1.2=1/1-1/2
1/3^2<1/2.3=1/2-1/3
1/4^2<1/3.4=1/3-1/4
..................................
1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/8<
1/1-1/8=8/8-1/8=7/8<1 vay B<1
Ta có \(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{10^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{9.10}.\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}< 1\)
\(\Rightarrow D< 1\)
Vậy \(D< 1\)
Ta có: 1/22 < 1/1.2
1/32 < 1/2.3
1/42 < 1/3.4
......
1/102 < 1/9.10
=> D < 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/9.10
=> D < 1 -1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/9 -1/10
=> D < 1 - 1/10
=> D < 9/10
=. D < 9/10 < 1
=> D < 1 ( đpcm )