Cho a , b , c là độ dài ba cạnh một tam giác . Chứng minh : \(abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 2 2021
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\forall a,b,c\\\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\forall a,b,c\\\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\forall a,b,c\end{cases}}\)
Nhân vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\left(1\right)\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)>0\)
Mà dễ thấy \(abc>0\)
Nên từ \(\left(1\right)\) : \(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)(đpcm)
20 tháng 11 2017
Đặt a+b-c=x; b+c-a=y; a+c-b=z
Ta có: x+y>=2 căn xy (bđt cauchy)
Tương tự: y+z>=2 căn yz
z+x>=2 căn zx
=> (x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz
<=> 2b.2c.2a>=8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
<=> 8abc>=8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
<=> abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
Vậy abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
TM
20 tháng 11 2017
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
Thiết lập các bất đửng thức tương tự cộng lại ta có dpcm.
7 tháng 2 2015
áp dụng BĐT AM-GM là ((a+b)/2)2>=ab vói mọi a, b >0
=>(a+b-c+b+c-a)2/4 >=(lớn hơn bằng) (a+b-c)(b+c-a) ( 3 cạnh của 1 tam giác là số dương)
=>b2>= (a+b-c)(b+c-a) (1)
Tương tự có a2 >=(a+b-c)(c+a-b) (2)
và c2 >=(b+c-a)(c+a-b) (3)
Nhân các vế của (1) (2) và (3) được:
(abc)2>=[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]2
=> abc >= (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ( điều phải chứng minh)
30 tháng 8 2016
a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .
BA
5 tháng 11 2019
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)
Ta có
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều
7 tháng 11 2019
Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)
\(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)
Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 (2)
Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều
31 tháng 1 2020
\(VT-VP=\frac{\Sigma_{cyc}\left(a-b+c\right)\left(a-b\right)^2}{abc}\ge0\) ( do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác )
bạn áp dụng bđt AM-GM đi , biến đổi cho ra a^2 vs b^2 vs c^2 rùi nhân vế theo vế là ra ấy mà