Question

[Mun toe]

so sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức

a) A=\(2^{16}\) và B=\(\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

b) A=\(4\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)  và B=\(3^{218}-1\)

Answer 1

[Phước Nguyễn]

\(a.\)

Ta sẽ biến đổi biểu thức  \(B\)  quy về dạng có thể dùng được hằng đẳng thức  \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2-y^2\), khi đó:

\(B=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

                                                                                     \(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

                                                                                     \(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

                                                                                     \(=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)=2^{16}-1\)

Vì  \(2^{16}>2^{26}-1\)  nên  \(2^{16}>\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)

Vậy,  \(A>B\)

Tương tự với câu  \(b\)  kết hợp với phương pháp tách hạng tử, khi đó xuất hiện hằng đẳng thức mới và dễ dàng đơn giản hóa biểu thức \(A\). Ta có:

\(A=4\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)=\frac{1}{2}\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

                                                                                \(=\frac{1}{2}\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)

                                                                                \(=\frac{1}{2}\left(3^{64}-1\right)\left(3^{64}+1\right)=\frac{1}{2}\left(3^{128}-1\right)\)

Mặt khác, do  \(\frac{1}{2}<1\)  nên   \(\frac{1}{2}\left(3^{128}-1\right)<3^{128}-1\)

Vậy,  \(B>A\)