Question

[lê thị thu hồng]

cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P,gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.

a.Tứ giác AMDB là hình gì?

b.Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB,AD.Chứng minh EF//AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng

c.Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

d.Giả sử CP vuông góc với BD và CP=24cm.PD/PB=9/16.Tính các cạnh của hinh chủ nhật ABCD.

nhờ các bạn giúp mjh nhak??

Answer 1

[Ngo Tung Lam]

Ta có hình : 

a ) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD . Dễ thấy : AM // DO 

\(\Rightarrow\)Tứ giác AMDB là hình thang

b ) Do AM // BD nên \(\widehat{OBA}=\widehat{MAE}\)( hai góc đồng vị ) . Tam giác AOB cân ở O nên \(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\). Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên \(\widehat{IAE}=\widehat{IEA}\)

Từ các chứng mình trên suy ra \(\widehat{FEA}=\widehat{OAB}\)do đó EF // AC   ( 1 )

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên  IP // AC   ( 2 )

.Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra ba điểm E ; F ; P thẳng hàng 

c ) \(\Delta MAF~\Delta DBA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{MF}{FA}=\frac{AD}{AB}\)( không đổi )

d ) Nếu \(\frac{PD}{PB}=\frac{9}{16}\)thì \(\frac{PD}{9}=\frac{PB}{16}=k\Rightarrow PD=9k;PB=16k\)

Nếu \(CP\perp BD\)thì \(\Delta CPB~\Delta DCP\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CP}{PD}=\frac{PB}{CP}\)do đó \(CP^2=PB.PD\)Từ đó ta có :

\(\left(2,4\right)^2=9.16k^2\Rightarrow k=0,2;PD=9k=1,8\left(cm\right);PB=16k=3,2\left(cm\right);BD=5\left(cm\right)\)

Bạn đọc dễ dàng chứng minh được \(BC^2=BP.BD=16\). Do đó : \(BC=4\left(cm\right);CD=3\left(cm\right)\)