Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:
\(18x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{18x.\frac{2}{x}}=12\)
Chứng minh tương tự, ta có
\(18y+\frac{2}{y}\ge12\)
\(18z+\frac{2}{z}\ge12\)
Từ đó suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge36\)(*)
Lại có \(x+y+z\le1\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-1\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\ge36-1\)
\(\Leftrightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)
Vậy \(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)với \(x+y+z\le1\)
(x+y)(y+z)(x+z)=8xyz
<=>\((xy+xz+y^2+yz)(x+z)=8xyz\)
<=>\(x^2y+x^2z+y^2z+xyz+xyz+xz^2+z^2y+yz^2=8xyz\)
<=> \(x^2y+x^2z+y^2x+xz^2+y^2z+yz^2-6xyz=0\)
<=> \(y(x^2+z^2-2xz)+x(y^2-2yz+z^2)+z(y^2-2yx+x^2)=0\)
<=>\(y(x-z)^2+x(y-z)^2+z(x-y)^2=0\)
Mà x,y,z dương
=> \((x-z)^2=0=>x=z\)
\((x-y)^2=0=>x=y\)
\((y-z)^2=0=>y=z\)
Vậy x=y=z
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
áp dụng BĐT C-S dạng engel : A >/ x+y+z
áp dụng BĐT AM-GM x+y+z >/ căn xy + căn yz + căn zx
=>minA = 1
Xét \(VT=\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\)
\(=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+1+\frac{1}{\frac{x}{z}+1}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=u,\frac{y}{z}=v\left(u,v>0\right)\Rightarrow\frac{x}{z}=uv\ge1\)(Do \(x\ge z\))
Khi đó vế trái được viết lại thành: \(\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}+1+\frac{1}{uv+1}\ge\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}+\frac{1}{uv+1}\ge\frac{3}{2}\)với \(uv\ge1\)
Theo BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta có: \(\frac{u}{v+1}+\frac{v}{u+1}=\frac{u^2}{uv+u}+\frac{v^2}{uv+v}\ge\frac{\left(u+v\right)^2}{2uv+u+v}\)
\(\ge\frac{\left(u+v\right)^2}{\left(u+v\right)+\frac{\left(u+v\right)^2}{2}}=\frac{2\left(u+v\right)}{u+v+2}\)
Mặt khác: \(\frac{1}{uv+1}\ge\frac{1}{\frac{\left(u+v\right)^2}{4}+1}=\frac{4}{\left(u+v\right)^2+4}\)
Khi đó ta quy BĐT cần chứng minh về: \(\frac{2\left(u+v\right)}{u+v+2}+\frac{4}{\left(u+v\right)^2+4}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Đặt \(w=u+v\ge2\sqrt{uv}\ge2\). Khi đó (*) trở thành \(\frac{2w}{w+2}+\frac{4}{w^2+4}\ge\frac{3}{2}\)với \(w\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(w-2\right)^2}{2\left(w+2\right)\left(w^2+4\right)}\ge0\)(đúng với mọi \(w\ge2\))
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}u+v=2\\uv=1\\u=v\end{cases}}\Leftrightarrow u=v=1\)hay x = y = z
Bạn tham khảo câu trả lời của mình và các bạn tại đây:
Câu hỏi của Lê Thành An - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
https://olm.vn/hoi-dap/detail/253622963565.html ( link nếu bạn ngại vào TKHĐ )