Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng BD, DC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho góc EAD = góc FAD. CMR:
\(\frac{BE}{CE}×\)\(\frac{BF}{CF}=\frac{AB^2}{AC^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 3 2016
Kẻ EH vuông góc với AB; FK vuông góc với AB; FM vuông góc với AC; EN vuông góc với AC (H;K thuộc AB và M;N thuộc AC).
Từ D kẻ DI vuông góc với AB; DG vuông góc với AC (I thuộc AB; G thuộc AC).
-Vì HE//DI => BE/BD= HE/ID (1).
-Vì MF//DG => CF/CD= FM/DG (2).
-Từ (1);(2) => BE/CF. CD/BD= HE/ID :FM/DG= HE/FM (Do DI=DG) (3).
-Tam giác HAE đồng dạng với tam giác MAF (g.g) => HE/MF =AE/AF (4).
-Từ (3);(4) => BE/CF. CD/BD= AE/AF (5).
-Vì DI//KF => BD/BF= DI/KF (6).
-Vì DG//EN => CD/CE= DG/EN (7).
-Từ (6);(7) =>CD/CE :BD/BF= BF/CE. CD/BD= DG/EN: DI/KF= KF/EN (8).
-Tam giác KAF đồng dạng với tam giác NAE (g.g) => KF/FEN= AF/AE (9).
-Từ (8);(9) => BF/CE. CD/BD= AF/AE (10).
-Lấy (5) nhân với (10), ta có: BE/CF. CD/BD. BF/CE. CD/BD= AE/AF. AF/AE= 1.
=> BE/CE. BF/CF. (CD/BD)^2= 1. Vì AD là phân giác của góc BAC => CD/BD= AC/AB => (CD/BD)^2= (AC/AB)^2.
-Từ 2 điều trên => BE/CE. BF/CF. (AC/AB)^2= 1.
=> BE/CE. BF/CF= (AB/AC)^2 (đpcm).
15 tháng 12 2023
1. Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC.
Gọi I là giao điểm của đường phân giác góc B và đường phân giác góc C.
Ta cần chứng minh MN // BC.
Ta có:
∠BIM = ∠CIM (do I nằm trên đường phân giác góc B và đường phân giác góc C)
∠BIM = ∠CIM = ∠BIC/2 (do I nằm trên đường phân giác góc B và đường phân giác góc C)
∠BIC = ∠BAC (do tam giác ABC cân tại A)
∠BIC = ∠BAC = ∠BCA (do tam giác ABC cân tại A)
Do đó, ta có ∠BIM = ∠CIM = ∠BCA.
Từ đó, ta có MN // BC (do ∠MNI = ∠BCA và ∠MIN = ∠BAC).
Vậy ta đã chứng minh MN // BC.
2. a) Ta có BF/BE = 2/3.
Gọi x là độ dài của BE.
Do BF/BE = 2/3, ta có BF = (2/3)x.
Gọi y là độ dài của FE.
Do FE = 12cm, ta có y = 12cm.
Gọi z là độ dài của IF.
Do I là giao điểm của FE và BD, ta có IF/FE = BD/BE.
Do đó, IF/12 = BD/x.
Ta có BD = BC + CD = BC + BA = BC + BE.
Do đó, IF/12 = (BC + BE)/x.
Ta có BF/BE = 2/3, nên BF = (2/3)x.
Do đó, BC = BF + FC = (2/3)x + (1/3)x = x.
Vậy, IF/12 = (x + x)/x = 2.
Từ đó, ta có IF = 2 * 12 = 24cm.
Do đó, IE/IF = BE/FE = x/12.
Vậy, IE/IF = x/12.
b) Giả sử FE = 12cm.
Từ phần a), ta đã tính được IF = 24cm.
Do đó, IE/IF = x/12.
Ta cần tính x.
Ta có BF/BE = 2/3, nên BF = (2/3)x.
Do BF = (2/3)x và BC = x, ta có BC = BF + FC.
Do đó, x = (2/3)x + FC.
Từ đó, FC = (1/3)x.
Vậy, BC = BF + FC = (2/3)x + (1/3)x = x.
Do đó, BC = x = 12cm.
Vậy, độ dài của IE và IF lần lượt là 12cm và 24cm.