Question

[tơn nguyễn]

cho tam giác ABC có BC=a, AB = c , AC=b thỏa mãn hệ thức a² +b² =5c² , tính góc giữa 2 trung tuyến AM và BN

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

Gọi G là giao điểm của AM và BN.

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến: \(AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\);

\(BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4}\).

Từ đó \(AG^2=\dfrac{4}{9}AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\); \(BG^2=\dfrac{4}{9}BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{9}\).

Do đó \(AG^2+BG^2=\dfrac{a^2+b^2+4c^2}{9}=\dfrac{9c^2}{9}=c^2=AB^2\).

Theo định lý Pythagoras đảo thì tam giác AGB vuông tại G.

Vậy góc giữa 2 trung tuyến AM và BN là 90^o.