Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
10 tháng 3 2019
Do x+ y= 1 nên
S = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) ( x 2 - x y + y 2 ) + 34 x y = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) 2 - 3 x y + 34 x y , d o x + y = 1 = 16 x 2 y 2 - 2 x y + 12
Đặt t= xy . Do x≥ 0 ; y≥0 nên
0 ≤ x y ≤ ( x + y ) 2 4 = 1 4 ⇒ t ∈ 0 ; 1 4
Xét hàm số f(t) = 16t2- 2t + 12 trên [0 ; 1/4].
Ta có f’ (t) = 32t- 2 ; f’(t) =0 khi t= 1/ 16 .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
m i n 0 ; 1 4 f ( t ) = f ( 1 16 ) = 191 16 ; m a x 0 ; 1 4 f ( t ) = f ( 1 4 ) = 25 2
Vậy giá trị lớn nhất của S là 25/2 đạt được khi
x + y = 1 x y = 1 4 ⇔ x = 1 2 y = 1 2
giá trị nhỏ nhất của S là 191/ 16 đạt được khi
Chọn A.
CM
15 tháng 2 2017
Đáp án B
Từ giả thiết
Xét hàm số
Do đó (*)
Xét hàm g(m) trên đoạn
Lúc này
8 tháng 12 2016
- \(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)
\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)
\(=16x^2y^2-2xy+12\)
Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)
Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)
- Như trên ta có : \(B=16\left(xy-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)
CV
16 tháng 6 2019
https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/
CV
16 tháng 6 2019
bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo
CM
12 tháng 10 2019
Đáp án B
Từ giả thiết
2017 1 − y 2017 x = x 2 + 2018 1 − y 2 + 2018 ⇔ 2017 1 − y 1 − y 2 + 2018 = 2017 x x 2 + 2018 *
Xét hàm số f t = 2017 t t 2 + 2018 với t ∈ 0 ; 1
⇒ f ' t = 2017 t ln 2017 t 2 + 2018 + 2 t .2017 t > 0
⇒ f t đồng biến trên 0 ; 1 . Do đó (*) ⇔ 1 − y = x ⇔ x + y = 1.
Ta có: 0 ≤ x y ≤ x + y 2 4 = 1 4 . Đặt m = x y ∈ 0 ; 1 4 . Khi đó :
S = 16 x 2 y 2 + 34 x y + 12 y + x y + x 2 − 3 x y = 16 m 2 − 2 m + 12 = g m
Xét hàm g m trên đoạn
0 ; 1 4 ⇒ g ' m = 32 m − 2 → g ' m = 0 ⇔ m = 1 16
Lúc này
g 0 = 12 , g 1 4 = 25 2 , g 1 16 = 191 16 ⇒ M = 25 2 m = 191 16 ⇒ M + m = 391 16 .
CM
18 tháng 12 2018
Đáp án B
Ta có 2017 1 − x − y = x 2 + 2018 y 2 − 2 y + 2019 ⇔ 2017 1 − y 2017 x = x 2 + 2018 1 − y 2 + 2018
2017 x x 2 + 2018 = 2017 1 − y 1 − y 2 + 2018 ⇔ f x = f 1 − y
Xét hàm số f t = 2017 t t 2 + 2018 = t 2 .2017 t + 2018.2017 t , có
f ' t = 2 t .2017 t + t 2 .2017 t . ln 2017 + 2018.2017 t . ln 2017 > 0 ; ∀ t > 0
Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên 0 ; + ∞ mà f x = f 1 − y ⇒ x + y = 1
Lại có P = 4 x 2 + 3 y 4 y 2 + 3 x + 25 x y = 16 x 2 y 2 + 12 x 3 + 12 y 3 + 34 x y
16 x 2 y 2 + 12 x + y 3 − 3 x y x + y + 34 x y = 16 x 2 y 2 + 12 1 − 3 x y + 34 x y = 16 x 2 y 2 − 2 x y + 12
Mà 1 = x + y ≥ 2 x y ⇔ x y ≤ 1 4 nên đặt t = x y ∈ 0 ; 1 4 khi đó P = f t = 16 t 2 − 2 t + 12
Xét hàm số f t = 16 t 2 − 2 y + 12 trên 0 ; 1 4 ta được min 0 ; 1 4 f t = f 1 16 = 191 16 max 0 ; 1 4 f t = f 1 4 = 25 2
CM
22 tháng 9 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
1 32 32 x 29 x + 3 y ≤ 1 4 2 32 x + 29 x + 3 y 2 = 1 8 2 61 x + 3 y
Tương tự
1 32 32 y 29 y + 3 x ≤ 1 8 2 61 y + 3 x
=> P ≤ 4 2 x + y ≤ 4 2 x 2 + 1 2 + y 2 + 1 2 = 8 2
Vậy P min = 8 2 <=> x = y = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 8 2021
\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2-4xy+3=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2-4xy+3\)
\(=\left(16-2xy\right)^2-2x^2y^2-4xy+3=2x^2y^2-68xy+259\)
\(4=x+y\ge2\sqrt[]{xy}\Rightarrow0\le xy\le4\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0\le a\le4\)
\(P=2a^2-68a+259=259-2a\left(34-a\right)\le259\)
\(P_{max}=259\) khi \(a=0\) hay \(\left(x;y\right)=\left(4;0\right);\left(0;4\right)\)
\(P=\left(2a^2-68a+240\right)+19=2\left(4-a\right)\left(30-a\right)+19\ge19\)
\(P_{min}=19\) khi \(a=4\) hay \(x=y=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 10 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (x+y)[(29x+3y)+(29y+3x)]=32(x+y)^2\leq 32.(x^2+y^2)(1+1)=64(x^2+y^2)\leq 64.2=128$
$\Rightarrow P\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=8\sqrt{2}$