Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+3a{x}^2+3x+3$ có đồ thị (C) và   $g\left(x\right)=x^3+3b{x}^2+9x+5$ có đồ thị (H), với a, b lá các tham số thực. Đồ thị (C), (H) có chung ít nhất 1 điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $P=\left|a\right|+2\left|b\right|$

A. $\sqrt{21}.$

B. $2\sqrt{6}+6.$

C. $3+5\sqrt{3}.$

D. $2\sqrt{6}.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Xét hệ phương trình

f ' ( x ) = 3 x 2 + 6 a x + 3 = 0 ( * ) g ' ( x ) = 3 x 2 + 6 b x + 9 = 0 ⇒ 6 x ( a − b ) = 6 ⇔ x = 1 a − b .  

Áp dụng công thức nghiệm do phương trình (*) ta có x = − a ± a 2 − 1  với a ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ 1 ; + ∞  .

*Trường hợp 1: x = − a + a 2 − 1 .  

Ta có

1 a − b = − a + a 2 − 1 ⇔ b = a + 1 a − a 2 − 1 = 2 a + a 2 − 1  

Suy ra  

P = a + 2 b = a + 4 a + 2 a 2 − 1 ≥ 5 a + 2 a 2 − 1

Xét hàm số

f ( x ) = 5 x + 2 x 2 − 1 ; x ∈ − ∞ ; − 1 ∪ 1 ; + ∞ .  

Đạo hàm

f ' x = 5 + 2 x x 2 − 1 ; f ' x = 0 ⇔ 5 x 2 − 1 = − 2 x ⇔ x ≤ 0 25 x 2 − 1 = 4 x 2  

⇔ x = − 5 21   (thỏa mãn).

Lại có f − 5 21 = − 21 ⇒ P ≥ 21  (lập bảng biến thiên của hàm số f x ).

*Trường hợp 2:Tương tự, ta tìm được   P ≥ 21 .