Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),$ $C\left(0;0;c\right)$ với a, b, c khác 0 và $a+2b+2c=6$. Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)

A. $d=1$

B. $d=\sqrt{3}$

C. $d=2$

D. $d=3$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

1. Tìm tọa độ tâm I ngoại tiếp tứ diện OABC

Gọi M là trung điểm của AB thì M a 2 ; b 2 ; 0 . Đường thẳng d là trục của  nên d đi qua M và nhận vecto chỉ phương  k → = 0 ; 0 ; 1

Phương trình tham số của đường thẳng d : x = a 2 y = b 2 z = t t ∈ ℝ .

Gọi N là trung điểm của OC thì N 0 ; 0 ; c 2 .

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của OC nên (P)   đi qua M và nhận vecto pháp tuyến là k → = 0 ; 0 ; 1 .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng P : z = c 2 .

Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), tức I a 2 ; b 2 ; c 2 .

2. Tìm mặt phẳng (P)   là quỹ tích của tâm I và tính  d O ; P   .

Ta có   x I = a 2 ; y I = b 2 ; z I = c 2 ⇒ a = 2 x I b = 2 y I c = 2 z I

Mà   a + 2 b + 2 c = 6 nên   2 x I + 2.2 y I + 2.2 z I = 6 ⇔ x I + 2 y I + 2 z I − 3 = 0

Vậy điểm I luôn nằm trên một mp cố định có pt là P : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 .

Vậy  d O ; P = 0 + 2.0 + 2.0 − 3 1 2 + 2 2 + 2 2 = 1