Cho dãy số
u
n
biết
u
1
=
2
,
u
n
+
1
=
2
u
n
–
1
(
v
ớ
i
n
≥
1
)
a.Viết năm số hạng đầu của dãy.b.Chứng minh
u
n
=
2
n
-
1
+
1
bằng phương pháp quy...
Đọc tiếp
Cho dãy số u n biết u 1 = 2 , u n + 1 = 2 u n – 1 ( v ớ i n ≥ 1 )
a.Viết năm số hạng đầu của dãy.
b.Chứng minh u n = 2 n - 1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
a. 5 số hạng đầu dãy là:
u1 = 2;
u2 = 2u1 – 1 = 3;
u3 = 2u2 – 1 = 5;
u4 = 2u3 – 1 = 9;
u5 = 2u4 – 1 = 17
b. Chứng minh un = 2n – 1 + 1 (1)
+ Với n = 1 ⇒ u1 = 21 - 1 + 1 = 2 (đúng).
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 2k-1 + 1 (1)
Ta chứng minh: uk+1 = 2k + 1. Thật vậy, ta có:
⇒ uk+1 = 2.uk – 1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1
⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .
Vậy un = 2n – 1 + 1 với mọi n ∈ N.