Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$có giá trị nhỏ nhất.

A.  $\left(P\right):x+2y+3z-14=0$

B.  $\left(P\right):x+2y+3z-11=0$

C.  $\left(P\right):x+2y+z-8=0$

D.  $\left(P\right):x+y+3z-14=0$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Gọi A a ; 0 ; 0 , B ( 0 ; b ; 0 ) , C 0 ; 0 ; c →  phương trình mặt phẳng (ABC) là  x a + y b + z c = 1

Vì điểm M 1 ; 2 ; 3 ∈ P ⇒ 1 a + 2 b + 3 c = 1 , ta có 1 a + 2 b + 3 c 2 ≤ 1 2 + 2 2 + 3 2 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2  

Khi đó 1 O A 2 + 1 O B 2 + 1 O C 2 = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 1 14 . Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 3c. 

Suy ra a = 14 , b = 7 , c = 14 3 , vậy phương trình mặt phẳng (P) là x 14 + y 7 + 3 z 14 = 1 ⇔ x + 2 y + 3 z - 14 = 0 .