Question

[Pham Trong Bach]

Cho tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau: $\left\{1\right\},\left\{2;3\right\},\left\{4;5;6\right\},\left\{7;8;9;10\right\}\mathrm{,...}$, trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hơp ngay trước đó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi $S_n$ là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính $S_{999}$ 

A. 498501999

B. 498501998

C. 498501997

D. 498501995

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Ta thấy tập hợp thứ n số nguyên liên tiếp, và phần tử cuối cùng của tập hợp này là  1 + 2 + 3 + ... + n = n n + 1 2 .

Khi đó S n  là tổng của n số hạng trong một cấp số cộng có số hạng đầu là   u 1 = n n + 1 2 , công sai   d = − 1  (coi số hạng cuối cùng trong tập hợp thứ n là số hạng đầu tiên của cấp số cộng này), ta có:

S n = n 2 u 1 + n − 1 d 2 = n 2 n n + 1 − n − 1 = 1 2 n n 2 + 1 .

Vậy

S 999 = 1 2 .999. 999 2 + 1 = 498501999.