Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn ac + b2 = 2bc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = \(x = {2a^2 + b^2 \over \sqrt{a^2b^2- ab^3 + 4b^4}} + {2b^2 + c^2 \over \sqrt{b^2c^2- bc^3 + 4c^4}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2021
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 12 2022
\(A=\dfrac{x-4+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}\)
\(=\sqrt{x}-2+\dfrac{5}{\sqrt{x}-2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}}+4=4+2\sqrt{5}\)
\(A_{min}=4+2\sqrt{5}\) khi \(9+4\sqrt{5}\)
b.
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{l}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(B=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(B_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
a. Đề bài em ghi sai thì phải
Vì:
\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
b.
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)
Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm
\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)
\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)
Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb
20 tháng 7 2021
b)
https://hoc24.vn/cau-hoi/c-voi-a-b-c-la-cac-so-duong-thoa-man-dieu-kien-a-b-c-2-tim-max-q-sqrt2abcsqrt2bcasqrt2cab.8298826302
Bạn có thể tham khảo ở đây. Đừng quên like giúp mik nha bạn. Thx
T
15 tháng 5 2019
Cân bằng hệ số:
Giả sư: \(2a^2+ab+2b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\) (ta đi tìm x ; y)
\(=xa^2+x.2ab+xb^2+ya^2-y.2ab+yb^2\)
\(=\left(x+y\right)a^2+2\left(x-y\right)ab+\left(x+y\right)b^2\)
Đồng nhất hệ số ta được: \(\hept{\begin{cases}x+y=2\\2\left(x-y\right)=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2x-2y=1\end{cases}}\Leftrightarrow4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\Leftrightarrow y=\frac{3}{4}\)
Do vậy: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)
Tương tự với hai BĐT còn lại,thay vào,thu gọn và đặt thừa số chung,ta được:
\(VT\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.2.\left(a+b+c\right)=\sqrt{\frac{5}{4}}.2.3=3\sqrt{5}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1
K
12 tháng 9 2021
Ta có: \(4ab\le2a^2+2b^2\)
=> \(\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}\le\sqrt{4a^2+9b^2+12ab}=\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}=2a+3b\)
=> \(\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)
Chứng minh tương tự
=> \(T\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)
Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức
=> \(T\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=1\)
=> \(MinT=1\)xảy ra khi a=b=c=5/3
16 tháng 8 2020
ta có \(4\left(a^2+a+2b^2\right)=5\left(a^2+2ab+b^2\right)+3\left(a^2-2ab+b^2\right)\)\(=5\left(a+b\right)^2+3\left(a-b\right)^2\ge5\left(a+b\right)^2\)(vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\))
vì a,b dương nên \(2\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\sqrt{5}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\left(1\right)\)
dấu "=" xảy ra khi a=b
chứng minh tương tự để có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{5}{4}\left(b+c\right)\Leftrightarrow b=c\left(2\right)\\\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=c\left(3\right)\end{cases}}\)
cộng các bất đẳng thức (1) (2) và (3) theo vế ta được
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{5}{4}\cdot2\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2019\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=673}\)
KN
6 tháng 2 2020
* Ta có:
\(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
* Tương tự ta có:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\); \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
\(=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=2019\sqrt{5}\)
(Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 673)
Vậy \(P_{min}=2019\sqrt{5}\Leftrightarrow a=b=c=673\)