Tìm x,y,z \(\in N\)sao cho : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)
( đơn giản phải không)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 7 2020
a) \(A=x\cdot\left(-1\right)^n\cdot\left|x\right|\)
\(A=x\cdot\left(-1\right)\cdot x\)
\(A=-x^2\)
b) \(\frac{x}{y}-\frac{2}{3}=\frac{y}{z}-\frac{4}{5}=\frac{z}{t}-\frac{6}{7}=0\)và \(x+y+z+t=315\)
Xét :
\(\frac{x}{y}-\frac{2}{3}=0\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Leftrightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{12}\)
\(\frac{y}{z}-\frac{4}{5}=0\Leftrightarrow\frac{y}{z}=\frac{4}{5}\Leftrightarrow\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\Leftrightarrow\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\)
\(\frac{z}{t}-\frac{6}{7}=0\Leftrightarrow\frac{z}{t}=\frac{6}{7}\Leftrightarrow\frac{z}{6}=\frac{t}{7}\Leftrightarrow\frac{z}{15}=\frac{t}{\frac{35}{2}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}=\frac{t}{\frac{35}{2}}\) và \(x+y+z+t=315\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}=\frac{t}{\frac{35}{2}}=\frac{x+y+z+t}{8+12+15+\frac{35}{2}}=\frac{315}{\frac{105}{2}}=6\)
\(\frac{x}{8}=6\Leftrightarrow x=48\)
\(\frac{y}{12}=6\Leftrightarrow y=72\)
\(\frac{z}{15}=6\Leftrightarrow z=90\)
\(\frac{t}{\frac{35}{2}}=6\Leftrightarrow t=105\)
TT
11 tháng 7 2020
ta có
\(\frac{x}{y}-\frac{2}{3}=0\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)
\(\frac{y}{z}-\frac{4}{5}=0\Leftrightarrow\frac{y}{z}=\frac{4}{5}\Leftrightarrow\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\)
\(\frac{z}{t}-\frac{6}{7}=0\Leftrightarrow\frac{z}{t}=\frac{6}{7}\Leftrightarrow\frac{z}{7}=\frac{t}{6}\)
ta lại có
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\\\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{8}=\frac{y}{12}\\\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\end{cases}}}\Leftrightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\left(1\right)\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\\\frac{z}{7}=\frac{t}{6}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y}{84}=\frac{z}{105}\\\frac{z}{105}=\frac{t}{90}\end{cases}}}\Leftrightarrow\frac{y}{84}=\frac{z}{105}=\frac{t}{90}\left(2\right)\)
ta kết hợp (1) và (2)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\\\frac{y}{84}=\frac{z}{105}=\frac{t}{90}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{x}{57}=\frac{y}{84}=\frac{z}{105}=\frac{t}{90}\)và \(x+y+z+t=315\)
theo tính chất dãy tỉ số = nhau
có \(\frac{x}{57}=\frac{y}{84}=\frac{z}{105}=\frac{t}{90}=\frac{x+y+z+t}{57+84+105+90}=\frac{315}{336}=\frac{15}{16}\)
thay vào
11 tháng 12 2016
Bạn ghi sai đề nhé chữa thành :
M=\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}\)
Giải
Ta có: \(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)
\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)
=> M=\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}\)>\(\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)
=> M>1 (1)
Ta lại có: \(\frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)
\(\frac{x}{y+z+t}< \frac{x+y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{z+t+x}< \frac{z+y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{t+x+y}< \frac{t+z}{x+y+z+t}\)
=> M=\(\frac{x}{x+y+z}=\frac{y}{y+z+t}=\frac{z}{z+t+x}=\frac{t}{t+x+y}\)<
\(\frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+x}{x+y+z+t}+\frac{z+y}{x+y+z+t}=\frac{t+z}{x+y+z+t}=\frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)=> M<2 (2)
Từ (1) và (2) => 1<M<2
=> M không phải là số tự nhiên
KN
26 tháng 8 2020
Dự đoán \(MinA=2\)khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)và \(MaxA=3\)khi x = y = z = 1. Ta sẽ chứng minh \(2\le\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}\le3\)
Đặt \(a=x+1;b=y+1;c=z+1\), khi đó ta được\(a,b,c\in\left[\frac{3}{2};2\right]\)
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là \(2\le\frac{a+b-2}{c}+\frac{b+c-2}{a}+\frac{c+a-2}{b}\le3\)
#Trước hết ta chứng minh\(2\le\frac{a+b-2}{c}+\frac{b+c-2}{a}+\frac{c+a-2}{b}\)\(\Leftrightarrow5\le\frac{a+b-2}{c}+1+\frac{b+c-2}{a}+1+\frac{c+a-2}{b}+1\)\(\Leftrightarrow5\le\left(a+b+c-2\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo một đánh giá quen thuộc thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)nên ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng \(\left(a+b+c-2\right)\frac{9}{a+b+c}\ge5\)
Đặt \(a+b+c=s\)thì ta cần chứng minh \(\frac{9\left(s-2\right)}{s}\ge5\Leftrightarrow s\ge\frac{9}{2}\)*đúng vì \(a+b+c\ge\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}\)*
Vậy bất đẳng thức bên trái được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
#Chứng minh \(\frac{a+b-2}{c}+\frac{b+c-2}{a}+\frac{c+a-2}{b}\le3\)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(\frac{3}{2}\le a\le b\le c\le2\). Khi đó ta sẽ có\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)=\frac{\left(2-b\right)\left(a^2-2b\right)}{2ab}\le0\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\)
Hoàn toàn tương tự ta được \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\le\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\); \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\le a+\frac{4}{a}+\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\)
Ta cần chứng minh\(a+\frac{4}{a}+\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\le3+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\Leftrightarrow a+\frac{2}{a}+\frac{b}{2}\le3+\frac{2}{c}\)
Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng vì\(\hept{\begin{cases}a+\frac{2}{a}-3=\frac{\left(a-1\right)\left(a-2\right)}{a}\le0\Leftrightarrow a+\frac{2}{a}\le3\\\frac{b}{2}\le1\le\frac{2}{c}\end{cases}}\)
Vậy bất đẳng thức bên phải được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
LT
1
28 tháng 8 2016
Ta có :
\(\frac{10}{7}< \frac{14}{7}=2\Rightarrow x< 2\)
Mà \(x\in N\)
TH1 : \(x=0;\)ta có :
\(\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}\)
\(\Rightarrow y+\frac{1}{z}=\frac{7}{10}\)
Mà \(\frac{7}{10}< 1\)
\(\Rightarrow y< 1\)
Mà \(y\in N\)
\(\Rightarrow y=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{z}=\frac{7}{10}\)
\(\Rightarrow z=\frac{10}{7}\)
Mà \(\frac{10}{7}\notin N\)
Do đó loại trường hợp này.
TH2 : \(x=1;\)ta có :
\(1+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}-1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow y+\frac{1}{z}=\frac{3}{7}\)
Mà \(\frac{3}{7}< 1\)
\(\Rightarrow y< 1\)
Mà \(y\in N\)
\(\Rightarrow y=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{z}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow z=\frac{7}{3}\)
Mà \(\frac{7}{3}\notin N\)
Do đó không có x ;y ; z thỏa mãn đề bài .
MH
2
22 tháng 3 2019
Vi vai tro cua x,y,z,t la binh dang nen gia su
\(x\le y\le z\le t\)
=> \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{4}{x^2}\Rightarrow\)\(\frac{4}{4}\le\frac{4}{x^2}\)\(\Rightarrow x^2\le4\)\(\Rightarrow x^2\in\left\{1;4\right\}\)
\(+)\)\(x^2=1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=0\)(loai )
+) \(x^2=4\Rightarrow\)\(\frac{1}{4}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1\Rightarrow\)\(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=\frac{3}{4}\le\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{3}{4}\le\frac{3}{y^2}\)\(\Rightarrow\)\(y^2\le4\)\(\Rightarrow\)\(y^2\in\left\{1;4\right\}\)
+) \(y^2=1\Rightarrow\)\(\frac{1}{1}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=0\)(loai)
+) \(y^2=4\Rightarrow\)\(\frac{1}{4}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=\frac{3}{4}\le\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{3}{4}\le\frac{2}{z^2}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{6}{8}\le\frac{6}{3z^2}\)\(\Rightarrow\)\(3z^2\le8\)\(\Rightarrow\)\(z^2\le2\)\(\Rightarrow\)\(z^2=1\)
den day minh chiu
28 tháng 10 2018
\(M=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\le\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z}=\frac{3}{2}\)
Nên max M là \(\frac{3}{2}\) khi x=y=z=1
\(x+y+z=3\ge x,y,z\)\(\Rightarrow M\ge\frac{x}{10}+\frac{y}{10}+\frac{z}{10}=\frac{3}{10}\)
Nên min M là \(\frac{3}{10}\) khi trong x,y,z có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 3